传播子

在量子力学以及量子场论中的传播子（propagator；核子，kernel），是描述粒子在特定时间由一处移动到另一处的几率幅，或是粒子以特定能量及动量移动的几率幅。传播子也是场的运动方程的格林函数。物理学家使用核子计算费恩曼图以及散射过程的概率。

自由粒子（波包）的核子是

${\displaystyle K(x,x^{\prime };t)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dk{e}^{ik(x-<!--\; -\; -->x^{\prime })}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{k}^{2}t/(2m)}={\left(\frac{m}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}t}\right)}^{1/2}{e}^{-<!--\; -\; -->m(x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{)}^2/(2i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}t)}.}$

量子谐振子的Mehler核子（英语：Mehler kernel）

${\displaystyle K(x,x^{\prime };t)={\left(\frac{m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}\right)}^{1/2}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}((x^2+x^{\prime 2})\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->2x{x}^{\prime })}{2i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}\right).}$

通过泛函积分，核子等于

${\displaystyle K(x,x^{\prime };t,t^{\prime })=\int <!--\; \int \; -->Dx(t)\exp <!--\; \; -->(i{\int <!--\; \int \; -->}_t^{t^{\prime }}L(x,\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x};t)dt)}$

${\displaystyle x(t)=x,x(t^{\prime })=x^{\prime }}$

L是拉氏量。

克戈场论（Klein-Gordon）的Feynman传播子

${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{G}}_F(p)=\frac{1}{p^2-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}.}$

据黄教授说，这是

H是汉克尔函数，K是贝塞尔函数，δ是狄拉克δ函数，${\displaystyle s^2=x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{x}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$。

Feynman传播子使用下面的曲线积分（contour integral，留数定理）

Feynman传播子也等于下面的真空期望值：

${\displaystyle G_F(x-<!--\; -\; -->y)=-<!--\; -\; -->i⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->}$

${\displaystyle =-<!--\; -\; -->i⟨<!--\; ⟨\; -->0|\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x^0-<!--\; -\; -->y^0)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(y^0-<!--\; -\; -->x^0)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)|0⟩<!--\; ⟩\; -->}$

上面T是路径排序算子，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是单位阶跃函数。

${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{S}}_F(p)=\frac{1}{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}=\frac{1}{p/-<!--\; -\; -->m+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}.}$

${\displaystyle S_F(x-<!--\; -\; -->y)=\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}{e}^{-<!--\; -\; -->ip\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->y)}\frac{({\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+m)}{p^2-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}=\left(\frac{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x-<!--\; -\; -->y{)}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^5}+\frac{m}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^3}\right)J_1(m|x-<!--\; -\; -->y|).}$

传播子也是格林函数

${\displaystyle S_F(x-<!--\; -\; -->y)=(i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/+m)G_F(x-<!--\; -\; -->y)}$

这描述费米子、电子。

光子传播子是

${\displaystyle \frac{-<!--\; -\; -->i{g}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{p^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}.}$

${\displaystyle \frac{g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->k_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{k}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/m^2}{k^2-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}+\frac{k_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{k}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/m^2}{k^2-<!--\; -\; -->m^2/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}.}$

${\displaystyle D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(k)=\frac{-<!--\; -\; -->i}{k^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}(g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\frac{k_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{k}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{k^2})}$

也阅读FP鬼子，给予胶子传播子或杨米尔斯传播子：

${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a(x)A_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^b(y)⟩<!--\; ⟩\; -->=D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x-<!--\; -\; -->y{)}^{ab}=\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\frac{-<!--\; -\; -->i{e}^{-<!--\; -\; -->ik(x-<!--\; -\; -->y)}}{k^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{ab}(g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\frac{k_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{k}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{k^2})}$

选择${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ 需要规范固定。

引力子的传播子是

${\displaystyle G_{abcd}(k)=\frac{g_{ac}{g}_{bd}+g_{bc}{g}_{ad}-<!--\; -\; -->g_{ab}{g}_{cd}}{k^2}}$