Artin群

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:39:52 #群论

数学上,阿廷群(或Artin group、称广义辫群),是指有如下展示的群:

其中

m < {\displaystyle m<\infty } 是有限型考克斯特矩阵,使对应的考克斯特群 = ()是有限群,那么Artin群 = ()称为有限型Artin群(Artin group of finite type)。其“不可约型”标记为 ,  =  ,  , () ,  ,  ,  ,  ,  ,  。一个有限型纯Artin群,可以表现为C中一个有限超平面配置的补集的基本群。皮埃尔·德利涅和Brieskorn-Saito用了这个几何描述,算出的中心、上同调,及解出字问题和共轭问题。

若矩阵中除对角线外的元素都是2或∞,则对应的Artin群称为直角Artin群(right-angled Artin group)。这类Artin群常用以下的方式标记:任何一个有个顶点的图 Γ,顶点标记为1, 2, …, n,都可定义一个矩阵,其中若和在Γ中相连,则 = 2,否则 = ∞。与矩阵对应的直角Artin群(Γ)有个生成元1, 2, …, n及关系

直角Artin群包括了有限秩的自由群,对应无边线的图,及有限生成的自由阿贝尔群,对应完全图。事实上每个秩为的直角Artin群都是一个秩为-1的直角Artin群的HNN扩张,两个极端例子是自由积和直积。这个构造法有一个推广称为群的图积(graph product of groups)。直角Artin群是群的图积的特例,其中每个顶点群都是秩1自由群(即无限循环群)。

Mladen Bestvina和Noel Brady建构了一个非正曲立方复形(nonpositively curved cubical complex),其基本群是一个给定的直角Artin群(Γ)。他们在Artin群的几何描述上用莫尔斯理论来论证,给出具有性质(FP2)的非有限展示群的第一批例子。

若一个Artin群或一个考克斯特群的对应矩阵中,对所有 ≠ 都有, ≥ 3,称这个群是大型(large type)的;若对所有 ≠ 都有, ≥ 4,则称这个群是超大型(extra-large type)的。

凯尼斯·阿佩尔和P.E. Schupp探讨Artin群的性质,证明了四条定理。这些定理之前已知对考克斯特群成立,而他们证明对Artin群也成立。他们发现可以使用小消去理论的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群,并可以把技巧改进来用在那些大型的群中。

他们证明的定理为:

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