Artin群

✍ dations ◷ 2024-09-20 08:37:53 #群论

数学上，阿廷群（或Artin group、称广义辫群），是指有如下展示的群：

其中

对 $m<\infty$ 是有限型考克斯特矩阵，使对应的考克斯特群 = ()是有限群，那么Artin群 = ()称为有限型Artin群（Artin group of finite type）。其“不可约型”标记为 , = , , () , , , , , , 。一个有限型纯Artin群，可以表现为C中一个有限超平面配置的补集的基本群。皮埃尔·德利涅和Brieskorn-Saito用了这个几何描述，算出的中心、上同调，及解出字问题和共轭问题。

若矩阵中除对角线外的元素都是2或∞，则对应的Artin群称为直角Artin群（right-angled Artin group）。这类Artin群常用以下的方式标记：任何一个有个顶点的图 Γ，顶点标记为1, 2, …, n，都可定义一个矩阵，其中若和在Γ中相连，则 = 2，否则 = ∞。与矩阵对应的直角Artin群(Γ)有个生成元₁, ₂, …, _n及关系

直角Artin群包括了有限秩的自由群，对应无边线的图，及有限生成的自由阿贝尔群，对应完全图。事实上每个秩为的直角Artin群都是一个秩为-1的直角Artin群的HNN扩张，两个极端例子是自由积和直积。这个构造法有一个推广称为群的图积（graph product of groups）。直角Artin群是群的图积的特例，其中每个顶点群都是秩1自由群（即无限循环群）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建构了一个非正曲立方复形（nonpositively curved cubical complex），其基本群是一个给定的直角Artin群(Γ)。他们在Artin群的几何描述上用莫尔斯理论来论证，给出具有性质(FP₂)的非有限展示群的第一批例子。

若一个Artin群或一个考克斯特群的对应矩阵中，对所有 ≠ 都有_, ≥ 3，称这个群是大型（large type）的；若对所有 ≠ 都有_, ≥ 4，则称这个群是超大型（extra-large type）的。

凯尼斯·阿佩尔和P.E. Schupp探讨Artin群的性质，证明了四条定理。这些定理之前已知对考克斯特群成立，而他们证明对Artin群也成立。他们发现可以使用小消去理论的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，并可以把技巧改进来用在那些大型的群中。

他们证明的定理为：

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