交换代数

✍ dations ◷ 2025-09-13 10:16:33 #抽象代数,交换代数

在抽象代数中，交换代数旨在探讨交换环及其理想，以及交换环上的模。代数数论与代数几何皆奠基于交换代数。交换环中最突出的例子包括多项式环、代数整数环与p进数环，以及它们的各种商环与局部化。

由于概形无非是交换环谱的黏合，交换代数遂成为研究概形局部性质的主要语言。

此学科原称“理想论”，始自戴德金在理想方面的工作，而其工作又建基于库默尔与克罗内克的早期工作。此后希尔伯特引入术语“环”，以推广先前采用的“数环”。希尔伯特以较抽象的进路取代先前基于复分析与不变量理论的计算导向进路，希尔伯特大大启发了埃米·诺特，诺特在交换代数中引进了许多公理化的抽象方法。另一位重要角色是希尔伯特的弟子Emanuel Lasker（也是世界棋王），他引入了准素理想，并证明了Lasker-Noether定理的首个版本。

现代交换代数学置重点于模。一个环 $R {\displaystyle R}$ $R$ 的理想、商环与 $R {\displaystyle R}$ $R$ -代数皆可视为 $R {\displaystyle R}$ $R$ -模，是以模论能兼摄理想与环扩张。尽管模论在克罗内克的工作中已开先河，一般仍将此归功于埃米·诺特。

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