磁偶极矩

磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁，会感受到力矩，促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用矢量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路、电子、分子或行星等等，都具有磁矩。科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场，其泰勒展开的多极展开式，由于磁单极子项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子项、第二个项目是磁四极子（quadrupole）项，以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同。一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积：其中， μ {displaystyle {boldsymbol {mu }},!} 为磁偶极矩， I {displaystyle I,!} 为电流， a {displaystyle mathbf {a} ,!} 为面积矢量。磁偶极矩、面积矢量的方向是由右手定则决定。处于外磁场的载流循环，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：其中， τ {displaystyle {boldsymbol {tau }},!} 为力矩， B {displaystyle mathbf {B} ,!} 为磁场， U {displaystyle U,!} 为势能。许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为“磁子”（magneton）。例如，电子自旋的磁矩与玻尔磁子的关系式为：其中， μ s {displaystyle {boldsymbol {mu }}_{s},!} 为电子自旋的磁矩，电子自旋g因子 g s {displaystyle g_{s},!} 是一项比例常数， μ B {displaystyle mu _{B},!} 为玻尔磁子， S {displaystyle mathbf {S} ,!} 为电子的自旋， ℏ {displaystyle hbar ,!} 是约化普朗克常数。采用国际单位制，磁偶极矩的量纲是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（electrostatic units），电磁单位制（electromagnetic units）、高斯单位制。磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分／秒的光速。在这篇文章内，所有的方程都采用国际单位制。在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的矢量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的矢量和：再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的矢量和，是条形磁铁的磁矩。对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩 μ {displaystyle {boldsymbol {mu }},!} 是其中， I {displaystyle I,!} 是循环所载有的恒定电流， a {displaystyle mathbf {a} ,!} 是平面循环的面积矢量。面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向，也是磁偶极矩的方向。这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持 μ = I a {displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!} 不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流 I {displaystyle I,!} ，则其磁偶极矩为其中， S {displaystyle mathbb {S} ,!} 是积分曲面， C {displaystyle mathbb {C} ,!} 是 S {displaystyle mathbb {S} ,!} 边缘的闭合回路， d a {displaystyle mathrm {d} mathbf {a} ,!} 是微小面积元素， d ℓ {displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }},!} 是微小线元素， r {displaystyle mathbf {r} ,!} 是 d ℓ {displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }},!} 的位置。引用矢量恒等式即可得到磁偶极矩的路径积分方程对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为其中， V {displaystyle mathbb {V} ,!} 是积分体积， r {displaystyle mathbf {r} ,!} 是源电流位置， J {displaystyle mathbf {J} ,!} 是电流密度， d V {displaystyle mathrm {d} V,!} 是微小体积元素。任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程计算出其磁偶极矩。在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为 μ {displaystyle mu ,!} ，通常测量单位为玻尔磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随着距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。思考一个载有恒定电流 I {displaystyle I,!} 的任意局域回路 C {displaystyle mathbb {C} ,!} ，其磁矢势 A {displaystyle mathbf {A} ,!} 为其中， r {displaystyle mathbf {r} ,!} 是检验位置， r ′ {displaystyle mathbf {r} ',!} 是源头位置，是微小线元素 d ℓ ′ {displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }},',!} 的位置， μ 0 {displaystyle mu _{0},!} 是磁常数。假设检验位置足够远， r > r ′ {displaystyle r>r',!} ，则表达式 1 | r − r ′ | {displaystyle {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},!} 可以泰勒展开为其中， P n ( cos ⁡ θ ′ ) {displaystyle P_{n}(cos theta '),!} 是勒让德多项式， θ ′ {displaystyle theta ',!} 是 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 与 r ′ {displaystyle mathbf {r} ',!} 之间的夹角。所以，磁矢势展开为思考 n = 0 {displaystyle n=0,!} 项目，也就是磁单极子项目：由于闭合回路的矢量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。再思考 n = 1 {displaystyle n=1,!} 项目，也就是磁偶极子项目：注意到磁偶极矩为 μ = I ∮ S ′ ⁡ d a ′ {displaystyle {boldsymbol {mu }}=Ioint _{mathbb {S} '}mathrm {d} mathbf {a} ',!} ，偶极磁矢势可以写为偶极磁场 B 1 {displaystyle mathbf {B} _{1},!} 为由于磁偶极子的矢势有一个奇点在它所处的位置（原点 O {displaystyle mathbf {O} } ），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为其中， δ 3 ( r ) {displaystyle delta ^{3}(mathbf {r} ),!} 是狄拉克δ函数。偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（hyperfine structure）。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21公分谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（recombination）至再电离纪元（reionization）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总矢量和。如图右，假设载有电流 I {displaystyle I,!} 的一个方形循环处于外磁场 B = B 0 z ^ {displaystyle mathbf {B} =B_{0}{hat {mathbf {z} }},!} 。方形循环四个边的边长为 w {displaystyle w,!} ，其中两个与 y ^ {displaystyle {hat {mathbf {y} }},!} 平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为 − θ + π / 2 {displaystyle -theta +pi /2,!} 。垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 μ = I w 2 μ ^ {displaystyle {boldsymbol {mu }}=Iw^{2}{hat {boldsymbol {mu }}},!} 。所以，这循环感受到的磁力矩为令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持 μ = I a {displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!} 不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值 μ B 0 {displaystyle mu B_{0},!} ；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。将载流循环从角弧 θ 1 {displaystyle theta _{1},!} 扭转到角弧 θ 2 {displaystyle theta _{2},!} ，磁场所做的机械功 W {displaystyle W,!} 为注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而 θ {displaystyle theta ,!} 是朝着顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设定 θ 1 = π / 2 {displaystyle theta _{1}=pi /2,!} ，则对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧 π / 2 {displaystyle pi /2,!} 扭转到角弧 θ 2 {displaystyle theta _{2},!} ，所做的机械功 W a {displaystyle W_{a},!} 为定义载流循环的势能 U {displaystyle U,!} 等于这机械功 W a {displaystyle W_{a},!} ，以方程表示为与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值 − μ B 0 {displaystyle -mu B_{0},!} ；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值 μ B 0 {displaystyle mu B_{0},!} 。假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路 C ′ {displaystyle mathbb {C} ',!} 的磁场力等于零：假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同。采用常见的“电流模型”，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为两者之间的差别为假设，电流等于零，电场不含时间，则根据麦克斯韦-安培方程，两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合。一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径 r ′ {displaystyle r',!} 为0.05米的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来建立以下几点论据：一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。假设螺线管的匝数为 N {displaystyle N,!} ，每一匝线圈面积为 a {displaystyle a,!} ，通过电流为 I {displaystyle I,!} ，则其磁矩为假设，一个点电荷 q {displaystyle q,!} 以等速 v {displaystyle v,!} 绕着z-轴，移动于半径为 r {displaystyle r,!} 的平面圆形路径，则其电流为其磁矩为其角动量 J {displaystyle mathbf {J} ,!} 为其中， m {displaystyle m,!} 是载电粒子的质量。所以，磁矩与角动量的经典关系为对于电子，这经典关系为其中， m e {displaystyle m_{e},!} 是电子的质量， e {displaystyle e,!} 是电子的绝对电量。假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，其中， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0},!} 是电常数。现在施加外磁场 B = B z ^ {displaystyle mathbf {B} =B{hat {mathbf {z} }},!} 于此氢原子，则会有额外的洛伦兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为 v B {displaystyle v_{B},!} ，则所以，假设，两个速度的差别 Δ v = v B − v {displaystyle Delta v=v_{B}-v,!} 超小，则所以，由于施加外磁场 B {displaystyle mathbf {B} ,!} ，磁矩的变化为注意到 Δ μ {displaystyle Delta {boldsymbol {mu }},!} 与 B {displaystyle mathbf {B} ,!} 呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。为了简略计算，使用半经典方法，可以求出磁矩的变化为其中， ⟨ r 2 ⟩ {displaystyle langle r^{2}rangle ,!} 是半径平方的期望值。电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（electron magnetic dipole moment）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。电子的磁矩是其中， g e {displaystyle g_{e},!} 是电子的朗德g因子， μ B = e ℏ / 2 m e {displaystyle mu _{B}=ehbar /2m_{e},!} 是玻尔磁子， S {displaystyle mathbf {S} ,!} 是电子的自旋角动量。按照前面计算的经典结果， g e = 1 {displaystyle g_{e}=1,!} ；但是，在狄拉克力学里， g e = 2 {displaystyle g_{e}=2,!} ；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些， g S = 2.002 319 304 36 {displaystyle g_{S}=2.002,319,304,36,!} 。请注意，由于这方程内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（angular momentum coupling）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩 μ {displaystyle mu ,!} 与总角动量 J {displaystyle mathbf {J} ,!} 的关系为其中， g J {displaystyle g_{J},!} 是原子独特的朗德g因子。磁矩对于磁场方向的分量 μ z {displaystyle mu _{z},!} 是其中， J z = J m ℏ {displaystyle J_{z}=J_{m}hbar ,!} 是总角动量对于磁场方向的分量， J m {displaystyle J_{m},!} 是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。因为电子带有负电荷，所以 μ z {displaystyle mu _{z},!} 是负值。处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为其中， γ {displaystyle gamma ,!} 是回转磁比率（gyromagnetic ratio） ， H {displaystyle mathbf {H} ,!} 是磁场。注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：其中， H e f f {displaystyle mathbf {H} _{eff},!} 是有效磁场（外磁场加上任何自身场）， λ {displaystyle lambda ,!} 是阻尼系数。这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：