一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是只和未知数的一阶导数有关的偏微分方程，其型式如下

以下的应用会用到一阶偏微分方程：建构双曲型偏微分方程的特征曲面、变分法、一些几何问题，以及一些解有用到特征线法的气体动力学简单模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透过建立解族的包络线来找到其他的解。

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常数的解。若一阶偏微分方程中的待定常数和自变数一样多，此解则称为全积分（complete integral）。以下有n个参数的解族

若满足${\displaystyle \text{det}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{x_i{a}_j}|\ne <!--\; \ne \; -->0}$满足

用方量的表示方式，令

解族的特征曲面可以表示为

其中

若和₀不变，此解的包络线可以由找到半径1/圆球上的点，且值为定值的点来求得。若${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}}$膨胀或是收缩的圆球。这也是在时空下的光锥。

此方程的初值问题会包括给定=0 时，=0 的等值曲面。这可以由找到所有中心在上，半径以速度膨胀或是收缩的圆球包络面来求得。包络面可以由下式求得

若${\displaystyle |\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x_0}|}$垂直，上式就会成立，因此包络线对应和垂直，速度为的运动，这也就是Huygens波前建立法：上的每一点在=0时发射一个球状波，较晚时间的波前就是这些球状波的包络线。的法向量即为光线。