泊松流形

✍ dations ◷ 2025-08-22 19:36:47 #微分几何,辛几何,流形上的结构

在数学中,泊松流形(Poisson manifold)是一个微分流形 使得 上光滑函数代数 ∞() 上装备有一个双线性映射称为泊松括号,将其变成泊松代数。

每个辛流形是泊松流形,反之则不然。

上一个泊松结构(Poisson structure)是一个双线性映射

使得这个括号反对称:

服从雅可比恒等式:

是 ∞() 关于第一个变量的导子:

上一个性质有多种等价的表述。取定一个光滑函数  ∈ ∞(),我们有映射 f { g , f } {\displaystyle f\mapsto \{g,f\}} ∞() 上一个导子。这意味着存在 上哈密顿向量场 使得

对所有 ∈ ∞()。这说明这个括号只取决于 的微分。从而,任何泊松结构有一个相伴的从 的余切丛 T∗ 到切丛 T 的映射

将 d 映为

余切丛与切丛之间的映射意味着 上存在一个双向量场 ,泊松双向量(Poisson bivector),一个反对称 2 张量 η 2 T M {\displaystyle \eta \in \bigwedge ^{2}TM} 上一个双向量场 ,这个公式可用来定义一个关于第一个变量为导子的反对称括号。这个括号服从雅可比恒等式,从而定义了一个泊松结构当且仅当斯豪滕–尼延黑斯括号 等于 0。

在局部坐标中,双向量在一点  = (1, ..., ) 有表达式

从而

对一个辛流形, 不过是由辛形式 诱导的余切丛与切丛之间的配对,存在性是其非退化保证。辛流形与泊松流形的差别在于辛形式必须无处奇异,而泊松双向量不必处处都满秩。当泊松双向量处处为零时,称流形有平凡泊松结构。

泊松映射(Poisson map)定义为光滑映射 ϕ : M N {\displaystyle \phi :M\to N} 映到泊松流形 ,保持括号积:

这里 { , } 与 { , } 分别是 与 上的泊松括号。

给定两个泊松流形 与 ,可以在乘积流形上定义一个泊松括号。设 12 是定义在乘积流形  ×  上两个光滑函数,利用在因子流形上的括号 { , } 与 { , } 定义乘积流形上的括号{ , }×

这里  ∈  与  ∈  都是常数;这就有,当

则蕴含着

一个泊松流形可以分成一族辛叶子(symplectic leaves)。每一片叶子是泊松流形的一个子流形,每片叶子自身是一个辛流形。两个点在同一片叶子上如果他们由一个哈密顿向量场的积分曲线连接。即,哈密顿向量场的积分曲线在这个流形上定义了一个等价关系。这个等价关系的等价类就是辛叶子。

如果 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 12 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 是李代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的泊松流形使得复结构保持双向量:

复泊松流形的辛叶子是伪凯勒流形(pseudo-Kähler manifold)。

相关

  • 负链RNA病毒核糖核酸病毒(英语:RNA virus),又称RNA病毒,其遗传物质为RNA,这些核糖核酸通常是单链RNA(ssRNA),但是也可能是双链RNA(dsRNA)。由RNA病毒感染造成的著名人类疾病包括艾滋病(AIDS)、埃博
  • 救济人道援助(英语:Humanitarian aid)又称人道救援,是基于人道主义(例如出现人道危机时)而对受助者作出物资上或物流上的支援,主要目的是拯救生命,舒缓不幸状况,以及维护人类尊严。 “人
  • 资讯技术信息技术(英语:Information Technology,缩写:IT)也称信息和通信技术(Information and Communications Technology,ICT),是主要用于管理和处理信息所采用的各种技术总称,主要是应用计算
  • 驯化驯化(英语:Domestication)是指一种生物的成长与生殖逐渐受另一种生物利用与掌控的过程,例如人类栽培各种农作物、畜牧,以及切叶蚁驯养真菌。人类驯化动植物的目的主要包括作为食
  • ClO一氧化氯,为氧氯化合物,化学式为ClO。臭氧层破洞与它有关。在臭氧层中,氯原子与臭氧分子发生反应,产生氧分子与一氧化氯 。
  • 裂隙灯裂隙灯(英语:Slit Lamp),又称为细隙灯、双目裂隙灯显微镜(biomicroscope),是一种用于眼科检查的光学仪器。裂隙灯通常由两部分组成:光源和双目显微镜,也就是照明系统和观察系统。光源
  • 超额席次超额席次可以在联立制 (MMP)系统选举中出现 (例如德国),当一方由党派投票而获得的席位,比直接投票赢得的席位少时发生,这种情况通常会使总席次增加。
  • 弗雷德里克·赫茨伯格弗雷德里克·赫茨伯格(1923年-2000年)(英文:Frederick Herzberg),美国心理学家、行为科学家、人力资源管理专家,1950年代末提出双因素理论。赫茨伯格在纽约市立学院获学士,在匹兹堡大
  • Video 2000Video 2000(或称作V2000、Video Compact Cassette、VCC)是一种由飞利浦与Grundig公司开发出的一种与JVC的VHS格式和索尼的Betamax格式竞争的一种家用录像带格式标准。其上市贩
  • 亚特兰蒂斯之心 (电影)《亚特兰蒂斯之心》是一部2001年上映的美国电影,由史考特·希克斯执导,根据史蒂芬·金(Stephen King)的中篇小说〈穿黄衣的下等人〉改编而成,该篇故事收录于短篇小说集《亚特兰蒂