泊松流形

✍ dations ◷ 2025-09-13 18:49:38 #微分几何,辛几何,流形上的结构

在数学中,泊松流形(Poisson manifold)是一个微分流形 使得 上光滑函数代数 ∞() 上装备有一个双线性映射称为泊松括号,将其变成泊松代数。

每个辛流形是泊松流形,反之则不然。

上一个泊松结构(Poisson structure)是一个双线性映射

使得这个括号反对称:

服从雅可比恒等式:

是 ∞() 关于第一个变量的导子:

上一个性质有多种等价的表述。取定一个光滑函数  ∈ ∞(),我们有映射 f { g , f } {\displaystyle f\mapsto \{g,f\}} ∞() 上一个导子。这意味着存在 上哈密顿向量场 使得

对所有 ∈ ∞()。这说明这个括号只取决于 的微分。从而,任何泊松结构有一个相伴的从 的余切丛 T∗ 到切丛 T 的映射

将 d 映为

余切丛与切丛之间的映射意味着 上存在一个双向量场 ,泊松双向量(Poisson bivector),一个反对称 2 张量 η 2 T M {\displaystyle \eta \in \bigwedge ^{2}TM} 上一个双向量场 ,这个公式可用来定义一个关于第一个变量为导子的反对称括号。这个括号服从雅可比恒等式,从而定义了一个泊松结构当且仅当斯豪滕–尼延黑斯括号 等于 0。

在局部坐标中,双向量在一点  = (1, ..., ) 有表达式

从而

对一个辛流形, 不过是由辛形式 诱导的余切丛与切丛之间的配对,存在性是其非退化保证。辛流形与泊松流形的差别在于辛形式必须无处奇异,而泊松双向量不必处处都满秩。当泊松双向量处处为零时,称流形有平凡泊松结构。

泊松映射(Poisson map)定义为光滑映射 ϕ : M N {\displaystyle \phi :M\to N} 映到泊松流形 ,保持括号积:

这里 { , } 与 { , } 分别是 与 上的泊松括号。

给定两个泊松流形 与 ,可以在乘积流形上定义一个泊松括号。设 12 是定义在乘积流形  ×  上两个光滑函数,利用在因子流形上的括号 { , } 与 { , } 定义乘积流形上的括号{ , }×

这里  ∈  与  ∈  都是常数;这就有,当

则蕴含着

一个泊松流形可以分成一族辛叶子(symplectic leaves)。每一片叶子是泊松流形的一个子流形,每片叶子自身是一个辛流形。两个点在同一片叶子上如果他们由一个哈密顿向量场的积分曲线连接。即,哈密顿向量场的积分曲线在这个流形上定义了一个等价关系。这个等价关系的等价类就是辛叶子。

如果 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 12 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} 是李代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的泊松流形使得复结构保持双向量:

复泊松流形的辛叶子是伪凯勒流形(pseudo-Kähler manifold)。

相关

  • 光化学烟雾光化学烟雾(Photochemical smog)指的是一系列对环境和健康有害的化学品。称之为光化学烟雾是因为它们是由氮氧化物及挥发性有机物等污染物质光解而产生的,之后会留下悬浮粒子及
  • 履约事务局中国人民解放军军徽中央军委国际军事合作办公室履约事务局,位于北京市,是中央军委国际军事合作办公室下属局,负责履行《禁止化学武器公约》事务。1997年,《禁止化学武器公约》生
  • 软骨膜软骨膜(Perichondrium)是一层包裹软骨外侧的致密结缔组织。软骨膜分为两层:软骨膜外层中含有成纤维细胞以及胶原纤维、弹性纤维,内层含有未成熟的软骨细胞(成软骨细胞(英语:Chondro
  • 2015年夏季世界大学生运动会第二十八届夏季世界大学生运动会(韩语:제28회 하계 유니버시아드)于2015年7月3日至7月14日在韩国光州市举行。2009年5月23日,国际大学运动总会宣布由光州市夺得本届赛事的主办权
  • 永登浦区永登浦区(朝鲜语:영등포구/永登浦區  */?)是一个位于韩国首尔特别市的行政区。虽然目前尚未能确定其名字的起源,但名字的头两个字(“永登”)通常被认为是来自“灵登”(一种巫教仪
  • 伍蠡甫伍蠡甫(1900年9月-1992年10月),艺名敬庵,字叔潜,男,广东新会人,生于上海,中国国画家、美术理论家、翻译家、文学家。文学翻译家伍光建之子。伍蠡甫早年就读于上海青年会中学、上海圣
  • 大刀王五大刀王五(1844年-1900年),清朝末年侠客、武术家。本名王正谊,字子斌,乳名安子,祖籍河北沧州,回族。由于王五于李凤岗师门中排行第五,绰号“小五子”,善用大刀,因此江湖称其为“大刀王五
  • 智能狂拼智能狂拼是一种基于中文语言模型(CLM)技术的汉语拼音输入法,与其他中文输入法相比,最大的特色是能够执行整句输入。与微软拼音、黑马神拼和拼音之星的语句输入类似。2000年,智能
  • 子位镇子位镇,是中华人民共和国河北省保定市定州市下辖的一个乡镇级行政单位。子位镇下辖以下地区:东丁村社区村、子位一村、子位二村、子位三村、寨里村、西丁村、西丁庄村、寺底村
  • 书中字有梦女神《书中字有梦女神》(英语:)是美国2012年一部由柔依·卡山所著、强纳生·戴顿及薇乐丽·法里执导的浪漫喜剧片。于剧中,保罗·丹诺饰演的作家发现他于书中写的人物,柔依·卡山饰演