希尔伯特第十六问题

✍ dations ◷ 2024-12-22 22:08:38 #代数几何,几何学,动力系统,希尔伯特问题,数学中未解决的问题

希尔伯特第十六问题，是希尔伯特的23个问题之一。它分成两个部分：

Harnack在1876年证明了一个平面上 $n {\displaystyle n}$ $n$ 次实代数曲线最多有 ${\frac {n^{2}-3n+4}{2}}$ ${\frac {n^{2}-3n+4}{2}}$ 个分支。希尔伯特提议研究这些分支之间的拓扑性质，并将Harnack的估计推广到空间里的实代数曲面。

给定二元 $n {\displaystyle n}$ $n$ 次实多项式 $P(x,y),Q(x,y)$ $P(x,y),Q(x,y)$ ，考虑下述平面上的动力系统

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.$ $\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = P(x,y)\\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = Q(x,y) \end{array} \right.$

希尔伯特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。

总而言之，此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部分，我们考虑实多项式的零点；在第二部分，我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。

希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基（I.G.Petrovsky）与兰迪斯（E.M.Landies）解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年，中国科学技术大学研究生史松龄，南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例，彻底推翻了二人的证明。因此第十六问题至今仍未解决。

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