全微分方程

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全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。

给定R2的一个单连通的开子集和两个在内连续的函数和，那么以下形式的一阶常微分方程

称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数，称为势函数，使得

以及

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数${\displaystyle F(x_0,x_1,...,x_{n-<!--\; -\; -->1},x_n)}$和通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：

其中和在R2的单连通开子集上是连续可微的，那么势函数存在，当且仅当下式成立：

给定一个定义在R2的单连通开子集上的全微分方程，其势函数为，那么内的可微函数是微分方程的解，当且仅当存在实数，使得

对于初值问题

我们可以用以下公式来寻找一个势函数：

解方程

其中是实数，我们便可以构造出所有的解。