全微分方程

✍ dations ◷ 2025-07-04 16:40:48 #微分方程

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全微分方程是常微分方程的一种,它在物理学和工程学中广泛使用。

给定R2的一个单连通的开子集和两个在内连续的函数和,那么以下形式的一阶常微分方程

称为全微分方程,如果存在一个连续可微的函数,称为势函数,使得

以及

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数 F ( x 0 , x 1 , . . . , x n 1 , x n ) {\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})} 和通常不仅是连续的,也是连续可微的。施瓦茨定理(也称为克莱罗定理)提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程,这个条件也是充分的,我们便得出以下的定理:

给定以下形式的微分方程:

其中和在R2的单连通开子集上是连续可微的,那么势函数存在,当且仅当下式成立:

给定一个定义在R2的单连通开子集上的全微分方程,其势函数为,那么内的可微函数是微分方程的解,当且仅当存在实数,使得

对于初值问题

我们可以用以下公式来寻找一个势函数:

解方程

其中是实数,我们便可以构造出所有的解。

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