李亚普诺夫指数

在数学领域中，李亚普诺夫指数（Lyapunov exponent）或李亚普诺夫特征指数（Lyapunov characteristic exponent）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{Z}}_0}$的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理）

其中${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$即为李亚普诺夫指数。

当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（spectrum of Lyapunov exponents），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（Maximal Lyapunov exponent，简称MLE），因为它决定了动力系统的可预测性。正的MLE通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。

李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。

最大李亚普诺夫指数定义为

极限${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{Z}}_0\to <!--\; \to \; -->0}$确保任何时间线性近似的可行性。

对离散时间系统（映射或迭代）${\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)}$和以${\displaystyle x_0}$为起始的轨迹，上式可以转换成