卡塔兰猜想

✍ dations ◷ 2025-09-18 18:34:50 #数论,丢番图方程,猜想

卡塔兰猜想也称为米哈伊列斯库定理，是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰在1844年提出的数论猜想，已在2002年4月由帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库（英语：Preda Mihăilescu）证明了这猜想，因此也称为米哈伊列斯库定理，证明大幅使用了分圆域和伽罗华模（英语：Galois module）。

此定理断言除了 $8=2^{3}$ $8=2^{3}$ ， $9=3^{2}$ $9=3^{2}$ ，没有两个连续整数都是正整数的幂（即次方数）；以数学方式表述为：不定方程 $x^{a}-y^{b}=1$ $x^{a}-y^{b}=1$ 的大于1的正整数 $x, y, a, b {\displaystyle x,y,a,b}$ $x,y,a,b$ 只有唯一解 $x=3,y=2,a=2,b=3$ $x=3,y=2,a=2,b=3$ 。

在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

于是卡塔兰猜想只余下 $a, b {\displaystyle a,b}$ $a,b$ 为奇素数的情况。

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