柯西定理

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:50:34 #柯西定理
柯西积分定理(或称柯西-古萨定理),是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明,如果从一点到另一点有两个不同的路径,而函数在两个路径之间处处是全纯的,则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是,单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0.设 Ω {displaystyle Omega } 是复平面 C {displaystyle mathbb {C} } 的一个单连通的开子集。 f : Ω → C {displaystyle f;:;Omega ;rightarrow ;mathbb {C} } 是一个 Ω {displaystyle Omega } 上的全纯函数。设 γ {displaystyle gamma } 是 Ω {displaystyle Omega } 内的一个分段可求长的简单闭曲线(即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线),那么:Ω {displaystyle Omega } 是单连通表示 Ω {displaystyle Omega } 中没有“洞”,例如任何一个开圆盘 D = { z : | z − z 0 | < r } {displaystyle D={z:|z-z_{0}|<r}} 都符合条件,这个条件是很重要的,考虑中央有“洞”的圆盘: D h = { z : 0 < | z − z 0 | < 2 } {displaystyle D_{h}={z:0<|z-z_{0}|<2}} ,在其中取逆时针方向的单位圆路径:考虑函数 f : z ↦ 1 / z {displaystyle f;:;z;mapsto ;1/z} ,它在 D h {displaystyle D_{h}} 中是全纯函数,但它的路径积分:不等于零。这是因为函数 f {displaystyle f} 在“洞”中有奇点。如果考虑整个圆盘 D s = { z : | z − z 0 | < 2 } {displaystyle D_{s}={z:|z-z_{0}|<2}} ,就会发现 f {displaystyle f} 在圆盘中央的点上没有定义,不是全纯函数。:419柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如: 设 Ω {displaystyle Omega } 是复平面 C {displaystyle mathbb {C} } 的一个开子集。 f : Ω → C {displaystyle f;:;Omega ;rightarrow ;mathbb {C} } 是一个定义在 Ω {displaystyle Omega } 上的函数。设 γ 1 : [ 0 , 1 ] → Ω {displaystyle gamma _{1};:;;rightarrow Omega } 与 γ 2 : [ 0 , 1 ] → Ω {displaystyle gamma _{2};:;;rightarrow Omega } 是 Ω {displaystyle Omega } 内的两条可求长的简单曲线,它们的起点和终点都重合:并且函数 f {displaystyle f} 在 γ 1 {displaystyle gamma _{1}} 与 γ 2 {displaystyle gamma _{2}} 围成的闭合区域 D {displaystyle D} 内是全纯函数,那么函数 f {displaystyle f} 沿这两条曲线的路径积分相同:除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外,柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用。设 Ω {displaystyle Omega } 是复平面 C {displaystyle mathbb {C} } 的一个开子集。 f : Ω → C {displaystyle f;:;Omega ;rightarrow ;mathbb {C} } 是定义在 Ω {displaystyle Omega } 上的全纯函数。无论 Ω {displaystyle Omega } 内的曲线 γ {displaystyle gamma } 是自交还是卷绕数多于1(围着某一点转了不止一圈),只要 γ {displaystyle gamma } 能够通过连续形变收缩为 Ω {displaystyle Omega } 内的一点,就有:以下的证明对函数有较为严格的要求,但对物理学中的应用来说已经足够。设 Ω {displaystyle Omega } 是复平面 C {displaystyle mathbb {C} } 的一个开子集。 f : Ω → C {displaystyle f;:;Omega ;rightarrow ;mathbb {C} } 是定义在 Ω {displaystyle Omega } 上的全纯函数, γ {displaystyle gamma } 是 Ω {displaystyle Omega } 内的可求长的简单闭合曲线。假设 f {displaystyle f} 的一阶偏导数也在 Ω {displaystyle Omega } 上连续,那么可以根据格林定理作出证明。具体如下:为了便于表达,将函数 f {displaystyle f} 写为实部函数和虚部函数: f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x + y i ) + i v ( x + y i ) . {displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x+yi)+i,v(x+yi).} 由于 d z = d x + i d y {displaystyle displaystyle dz=dx+i,dy} ,积分依据格林定理,右端的两个环路积分都可以变形为 γ {displaystyle gamma } 围成的区域 D γ {displaystyle D_{gamma }} 上的面积分。另一方面,由于 f {displaystyle f} 是全纯函数,所以它的实部函数和虚部函数满足柯西-黎曼方程:所以以上的两个积分中的被积函数都是0,因而积分也是0:该定理的一个直接推论,是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算:设 Ω {displaystyle Omega } 是复平面 C {displaystyle mathbb {C} } 的一个开子集。 f : Ω → C {displaystyle f;:;Omega ;rightarrow ;mathbb {C} } 是一个 Ω {displaystyle Omega } 上的全纯函数。函数 f {displaystyle f} 在 Ω {displaystyle Omega } 内的路径积分,只与积分的起点和终点有关,与中间经历的路径无关。假设,起点为.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}a,则可以定义一个函数 F : Ω → C {displaystyle F;:;Omega ;rightarrow ;mathbb {C} }其中的 γ a b {displaystyle gamma _{a}^{b}} 可以是任何以a为起点,b为终点的分段可求长简单曲线。函数 F {displaystyle F} 被称为 f {displaystyle f} 的(复)原函数或反导数函数。:422柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。

相关

  • SATC代码S(感觉器)是解剖学治疗学及化学分类系统的一个分类,这是由世界卫生组织药物统计方法整合中心(The WHO Collaborating Centre for Drug Statistics Methodology)所制定的药
  • 眼科人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学眼科学是医学上研究眼部疾患一个分支,
  • 父系社会父系制度(Patrilineality),父系社会或男系社会的氏族制度,是按父系(男系)计算世系血统和继承财产的制度。以男子为主导,男子娶妻子入家门。子女随父姓,并嫁出女儿,儿子继续娶妻。即男
  • 伊瓜苏瀑布伊瓜苏瀑布(葡萄牙语:Cataratas do Iguaçu,西班牙语:Cataratas del Iguazú,当地的瓜拉尼语意为“大水”)是由位于巴西巴拉那州和阿根廷边界上的伊瓜苏河从巴西高原辉绿岩悬崖上
  • 雅克·里韦特贾克·希维特(法语:Jacques Rivette;1928年3月1日-2016年1月29日)是法国电影导演与影评,与法兰索瓦·楚浮、尚卢·高达、艾力·侯麦与克劳德·夏布洛一样都曾担任《电影笔记》的影
  • 编码序列基因的编码区(英语:Coding region),亦称为“编码序列”(Coding sequence)或“CDS”(Coding DNA Sequence),是指DNA或RNA中由外显子组成,编码蛋白质的部分。该区域的边界范围从靠近5′
  • 技术革新技术革新、技术开发和技术成就(或技术进步)是技术或过程上发明、创新和扩散的整体过程。本质上,技术革新也是技术(包括过程)发明及其商业化(英语:Commercialization)。它通过研发产
  • 玩具玩具泛指可用来玩的物品,玩具有不同的材质和游玩形式,可以是自然物体如泥土、石块、树枝、贝壳等;玩具也可以是人工制作,如布偶、卡牌、积木、拼图等。玩具在人类社会中有重要的
  • 油电混合公车混合动力车辆是使用两种或以上能量来源驱动的车辆,而驱动系统可以有一套或多套。常用的能量来源有燃油、电池、燃料电池、太阳能电池、压缩气体等,而常用的驱动系统包含内燃机
  • 东方东方通常指东、东方,四个主要方向之一。其还可以指: