群同构

在抽象代数中，群同构是在两个群之间的函数，它以关照到了群运算的方式架设了在群的元素之间的一一对应。如果两个群之间存在一个同构，则这两个群叫做同构的。从群论的立场看，同构的群有相同的性质而不需要区分。

给定两个群 (G, *) 和 (H, ${\displaystyle \odot <!--\; \odot \; -->}$ 次幂到 次幂

对于所有 u ∈ G，并且逆映射 ${\displaystyle f^{-<!--\; -\; -->1}:H\to <!--\; \to \; -->G}$ 也是群同构。

“同构”关系满足等价关系的所有公理。如果 f 是在两个群 G 和 H 之间的同构，则关于 G 的只与群结构有关的所有为真的事情都可以通过 f 转换成关于 H 的同样为真的陈述，反之亦然。

从群 (G,*) 到自身的同构叫做这个群的自同构。就是说这是双射 ${\displaystyle f:G\to <!--\; \to \; -->G}$ 使得

自同构总是映射单位元到自身。共轭类在自同构下的像总是共轭类(同一个或另一个)。一个元素的像有同这个元素相同的阶。

两个自同构的复合也是自同构，并且群 G 的所有自同构的集合在复合运算下自身形成了一个群，即 G 的自同构群，指示为 Aut(G)。

对于所有阿贝尔群，至少有把群的元素替换为它的逆元的自同构。但是，在所有元素都等于它的逆元的群中这是一个平凡自同构，比如在克莱因四元群中。对于这种群三个非单位元的所有排列都是自同构，所以这个自同构群同构于 S₃ 和 Dih₃。

在对于素数 p 的 Z_p 中，一个非单位元元素可以被替换为另一个，带有在其他元素中的相应变更。这个自同构群同构于 Z_{p − 1}。例如，对于 n = 7，Z₇ 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在这个自同构群中的一个 6 阶自同构，因为 36 = 1 ( modulo 7 )，而更低的幂不得出 1。因为这个自同构生成了 Z₆。这里还有一个自同构有这个性质: Z₇ 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此这两个对应于 Z₆ 的元素 1 和 5，以这个次序或反过来。

Z₆ 的自同构群同构于 Z₂，因为只有两个元素 1 和 5 的每一个能生成 Z₆，所以除了单位元之外我们只能互换它们。

Z₂ × Z₂ × Z₂ = Dih₂ × Z₂ 的自同构群有阶 168，这可以如下这样找到。所有 23 - 1 = 7 个非单位元元素扮演相同的角色，所以我们可以选择让谁扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 23 - 21 = 6 中的任何一个都可以被选择来扮演 (0,1,0) 的角色。这确定了谁对应于 (1,1,0)。对 (0,0,1) 我们可以有 23 - 22 = 4 个选择，这就确定了余下的。因此我们有了 7 × 6 × 4 = 168 个自同构。它们对应于Fano平面的成员，它的 7 个点对应于 7 个非单位元元素。连接三个点的线对应于群运算: a, b 和 c 在一条线上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。参见在有限域上的一般线性群。

对于阿贝尔群除了平凡的之外的所有自同构叫做外自同构。

非阿贝尔群有非平凡的内自同构群，并可能也有外自同构。