对数积分

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:06:06 #特殊函数,特殊超几何函数,积分,对数

对数积分 li ( x ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)} )在 = 1处有一个奇点,当 > 1时,这个积分只能用柯西主值的概念来解释:

由于这个积分在x趋近于1时,值会趋近于负无穷大,有些数学家为了避免麻烦,常会选择另外一个相似的定义,欧拉对数积分定义为:

函数li()有一个正根,它出现在 ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。

其中 Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)} )与指数积分Ei()有以下的关系:

其中 x > 1 {\displaystyle x>1} )的一个级数表示法:

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数,是:

当 → ∞,函数有以下的渐进表现:

其中 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} )是小于或等于的素数的个数。

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