柏拉图立体

✍ dations ◷ 2025-06-07 02:37:11 #几何术语,多面体,多面体类型,柏拉图立体

在几何学中,凸正多面体,又称为柏拉图立体,是指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体,是一种三维的正几何形状,符合这种特性的立体总共只有5种。在汉语文化中,正多面体通常是指只有5种的凸正多面体,然而在只讨论每面全等、每个个角等角且每条边等长的情况下,亦有其他多种几何结构存在,也称为正多面体。

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友泰阿泰德告诉柏拉图这些立体,柏拉图便将这些立体写在《蒂迈欧篇》(Timaeus) 内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法;命题14为正八面体作法;命题15为立方体作法;命题16则是正二十面体作法;命题17则是正十二面体作法。

判断正多面体的依据有三条

这三个条件都必须同时满足,否则就不是正多面体,比如五角十二面体,虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的,但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称形,每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的,对正多面体加以变化就会导致对称性下降,如正十二面体属于Ih点群,当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

凸正多面体共有五个,均由古希腊人发现:(表中a为正多面体的边长)

体积: 1 12 2 a 3 {\displaystyle {1 \over 12}{\sqrt {2}}a^{3}} 、棱数 和面数 的性质都可以由每个面上的边(棱)的数目 和每个顶点出发的棱的数目 给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上,我们有

另一个关系是欧拉公式:

(这个不显然的事实可以通过多种途径证明。在几何拓扑中,这是因为球面的欧拉示性数是 2。)上面三个等式可以解出 , 和 :

注意交换 和 会交换 和 但 不变。

正多面体只有五种这个定理是一个经典结果。下面给出了两个证明。注意这两个证明都只证明了正多面体至多有五种,这五种的存在性需要靠构造给出。

下面的几何讨论和欧几里得在几何原本中给出的证明非常相似:

纯粹的拓扑证明可以只利用正多面体的性质.关键在于 V E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} 和 必须大于等于 3,我们可以容易地找到所有五组 (, ):

相关

  • 胞间连丝胞间连丝(英语:Plasmodesmata)为植物细胞和部分藻类细胞壁间贯穿细胞壁的特有孔道,可以让相邻细胞的细胞质相互流通。有微小孔道,为细胞间物质运输与信息传递的重要通道,通道中有
  • 博姿博姿(Boots UK,原名Boots the Chemists Ltd,商业名称Boots)是英国和爱尔兰的一家连锁药妆店,在英国各大商店街、购物中心和机场都有店铺。目前Boots在英国和爱尔兰运营有超过2,50
  • 维管植物维管植物(或作维管束植物)是指具有维管组织的植物,这些组织中可将液体作快速的流动,在体内运输水分和养分,它包括蕨类植物和种子植物。种子植物又分为裸子植物和被子植物。维管植
  • 约翰·梅杰约翰·梅杰爵士,KG,CH (英语:Sir John Major,1943年3月29日-)是一名英国政治家,于1990年至1997年出任英国首相和英国保守党党魁。他曾于1987年至1990年间在玛格利特·撒切尔内阁相继
  • 瓦泽奈瓦泽奈是一位下埃及统治者,在巴勒莫石碑中被提及,统治时期为公元前3100年左右。由于考古学家没有发现其他证据,他可能是神话中的国王,甚至可能是完全虚构的统治者。
  • 弓箭射箭,是借助弓或弩的弹力将箭射出的一种活动,最初是用作狩猎之用,后来应用到军事上。世界各地均有不同的传统射箭方式,有些地区更发展成一种仪式化的技艺。例如儒家文化圈六艺中
  • 宾夕法尼亚州众议院多数党少数党宾夕法尼亚州众议院(英语:Pennsylvania House of Representatives)是美国宾夕法尼亚州议会的下议院。宾夕法尼亚州众议院共有203名议员,每届任期2年。宾夕法尼亚州
  • 苏联国徽苏联国徽(俄语:Государственный герб СССР / Gosudarstvennyiy gerb SSSR )启用于1923年7月6日,直到1991年苏联解体。第一版苏联国徽的计划在1923年7月6
  • 海军陆战队使馆卫兵海军陆战队使馆警卫队(英语:Marine Corps Embassy Security Group),前称海军陆战队卫兵营(Marine Security Guard Battalion),是美国海军陆战队一支营级的部队,负责美国驻外大使馆、
  • 爱德华·伯恩施坦爱德华·伯恩施坦(德语:Eduard Bernstein,1850年1月6日-1932年12月18日)是一位德国社会民主主义理论家及政治家。1872年加入德国社会民主党,后来在外流亡数年,任几份社会主义杂志的