其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群
环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)
在数学中，拓扑群是群 和与之一起的 上的拓扑，使得这个群的二元运算和这个群的取逆函数是连续的。拓扑群允许依据连续群作用来研究连续对称的概念。
拓扑群 是拓扑空间和群使得群运算
和
是连续函数。这里的 × 被看作使用乘积拓扑得到拓扑空间。
尽管我们这里没有做其他要求，很多作者要求在 上的拓扑是豪斯多夫空间。下面会讨论其理由和一些等价条件。最后，这不是个严重的限制 — 很多拓扑群都可以用规范方式变成豪斯多夫空间。
使用范畴论的语言，拓扑群可以简明的定义为在拓扑空间范畴内的群对象，如同普通的群是集合范畴的群对象一样。
在两个拓扑群 和 之间的同态就是连续群同态 → 。拓扑群的同构则要求同时是群同构及对应拓扑空间的同胚。这比单纯要求连续群同构要更强，因其逆函数必须也是连续。有作为普通群是同构的但作为拓扑群却不同构的例子。实际上，任何非离散的拓扑群在用离散拓扑来考虑的时候也是（另一个）拓扑群。底层的群是一样的（同构），但两个拓扑群并非同构。
拓扑群和它们的同态一起形成一个范畴。
每个群可以平凡地变成一个拓扑群，这是通过给它一个离散拓扑达成地；这样的群称为离散群。在这个意义下，拓扑群的理论包含了普通群的理论。
实数 R，以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群。更一般的，欧几里得空间R连同加法和标准的拓扑构成拓扑群。更一般的，所有拓扑向量空间（譬如巴拿赫空间和希尔伯特空间）的加法群是拓扑群。
上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群（是拓扑群也是流形）。例如，一般线性群GL(,R)由所有可逆×实系数矩阵组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL(,R)作为欧几里得空间R×的子空间得到的子空间拓扑。所有李群是局部紧的。
不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而它不是离散拓扑。对于一个非交换的例子，可以考虑R3的旋转群由绕不同轴作2π的无理数倍的两个旋转所生成的子群。
在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中，可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。
拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如，在任何拓扑群中单位分支（也就是包含单位的连通分支）是一个闭正规子群。
拓扑群上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚。同样，若a是G的任意元素，则a的左乘和右乘产生 → 的一个同胚。
每个拓扑群可以两种方式视为一个一致空间；“左一致性”将所有左乘变成一个一致连续映射，而“右一致性”将所有右乘变为一致连续映射。若非交换，则这两个一致性并不相同。这个一致性结构使得在拓扑群上讨论完备性、一致连续、和一致收敛成为可能。
作为一个一致空间，每个拓扑群是一个完全正则空间。因而，若一个拓扑群是T0（也就是柯尔莫果洛夫空间），则它也是T2 (也即豪斯多夫空间)。
两个拓扑群之间的最自然的同态概念是一个连续的群同态。拓扑群，和作为态射的连续群同态一起，构成一个范畴。
每个拓扑群的子群本身也是一个拓扑群，只要取子空间拓扑便可。若是G的一个子群，所有左或右陪集/是一个拓扑空间，只要取商拓扑便可（/上使得自然投影 : → /连续的最细拓扑)。可以证明商映射 : → /总是开映射。
若是一个G的正规子群，则因子群，/成为一个拓扑群，而从普通群理论来的同构基本定理在这个范围中也是成立的。但是，若不是G的拓扑下的闭集，则/不是T0的，即使是。因此很自然可以要求限制到只考虑T0拓扑群的范畴，并且限制定义中的正规到正规且闭。
若是G的子群，则H的闭包也是一个子群。同样，若H是一个正规子群，则H的闭包也是正规的。
对于调和分析有特殊重要性的是局部紧拓扑群，因为它们承认一个自然的测度和积分的概念，由哈尔测度给出。在很多方面，局部紧拓扑群是可数群的一个推广，而紧拓扑群可以视为有限群的一个推广。群表示理论对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的。
