内乘

✍ dations ◷ 2025-10-25 09:37:29 #内乘

在数学中，内乘（interior product，或译内积）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果是流形上一个向量场，那么

是将一个 -形式映为 (−1)-形式，由性质

所定义，对任何向量场 ₁,..., ₋₁。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与外代数上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（interior 或 inner multiplication），或内导数（inner derivative 或 derivation）。

一些作者使用字母 ${displaystyle i}$ $i$ 代替 ${displaystyle iota }$ $iota$ ；内乘有时也写成 ${displaystyle iota (X)}$ ${displaystyle iota (X)}$ 或者 ${displaystyle Xlrcorner omega =iota _{X}omega }$ ${displaystyle Xlrcorner omega =iota _{X}omega }$ 。

由反对称性

所以 ${displaystyle iota _{X}^{2}=0}$ ${displaystyle iota _{X}^{2}=0}$ 。

因为李导数与缩并可以交换，故：

这便得出两个向量李括号的内乘公式：

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出：

这个等式在辛几何中非常重要：参见矩映射。

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