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欧拉常数
✍ dations ◷ 2025-04-03 10:36:27 #欧拉常数
欧拉-马斯刻若尼常数是一个数学常数,定义为调和级数与自然对数的差值:它的近似值为
γ
≈
0.577215664901532860606512090082402431042159335
{displaystyle gamma approx 0.577215664901532860606512090082402431042159335}
,欧拉-马斯刻若尼常数主要应用于数论。该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用
C
{displaystyle C}
作为它的符号,并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年,意大利数学家洛伦佐·马斯刻若尼(英语:Lorenzo Mascheroni)引入了
γ
{displaystyle gamma }
作为这个常数的符号,并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。目前尚不知道该常数是否为有理数,但是分析表明如果它是一个有理数,那么它的分母位数将超过10242080。γ
=
1
−
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
⌊
log
2
k
⌋
k
+
1
{displaystyle gamma =1-sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {lfloor log _{2}krfloor }{k+1}}}
.γ
+
ζ
(
2
)
=
∑
k
=
1
∞
1
k
⌊
k
⌋
2
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
(
1
4
+
⋯
+
1
8
)
+
1
9
(
1
9
+
⋯
+
1
15
)
+
…
{displaystyle gamma +zeta (2)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{klfloor {sqrt {k}}rfloor ^{2}}}=1+{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{3}}+{tfrac {1}{4}}left({tfrac {1}{4}}+dots +{tfrac {1}{8}}right)+{tfrac {1}{9}}left({tfrac {1}{9}}+dots +{tfrac {1}{15}}right)+dots }
γ
=
∑
k
=
2
∞
k
−
⌊
k
⌋
2
k
2
⌊
k
⌋
2
=
1
2
2
+
2
3
2
+
1
2
2
(
1
5
2
+
2
6
2
+
3
7
2
+
4
8
2
)
+
1
3
2
(
1
10
2
+
⋯
+
6
15
2
)
+
…
{displaystyle gamma =sum _{k=2}^{infty }{frac {k-lfloor {sqrt {k}}rfloor ^{2}}{k^{2}lfloor {sqrt {k}}rfloor ^{2}}}={tfrac {1}{2^{2}}}+{tfrac {2}{3^{2}}}+{tfrac {1}{2^{2}}}left({tfrac {1}{5^{2}}}+{tfrac {2}{6^{2}}}+{tfrac {3}{7^{2}}}+{tfrac {4}{8^{2}}}right)+{tfrac {1}{3^{2}}}left({tfrac {1}{10^{2}}}+dots +{tfrac {6}{15^{2}}}right)+dots }
γ
{displaystyle gamma }
的连分数展开式为:
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