欧拉常数

欧拉-马斯刻若尼常数是一个数学常数，定义为调和级数与自然对数的差值：它的近似值为 γ ≈ 0.577215664901532860606512090082402431042159335 {displaystyle gamma approx 0.577215664901532860606512090082402431042159335} ，欧拉-马斯刻若尼常数主要应用于数论。该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用 C {displaystyle C} 作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯刻若尼（英语：Lorenzo Mascheroni）引入了 γ {displaystyle gamma } 作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。γ = 1 − ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ⌊ log 2 ⁡ k ⌋ k + 1 {displaystyle gamma =1-sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {lfloor log _{2}krfloor }{k+1}}} .γ + ζ ( 2 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k ⌊ k ⌋ 2 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 ( 1 4 + ⋯ + 1 8 ) + 1 9 ( 1 9 + ⋯ + 1 15 ) + … {displaystyle gamma +zeta (2)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{klfloor {sqrt {k}}rfloor ^{2}}}=1+{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{3}}+{tfrac {1}{4}}left({tfrac {1}{4}}+dots +{tfrac {1}{8}}right)+{tfrac {1}{9}}left({tfrac {1}{9}}+dots +{tfrac {1}{15}}right)+dots } γ = ∑ k = 2 ∞ k − ⌊ k ⌋ 2 k 2 ⌊ k ⌋ 2 = 1 2 2 + 2 3 2 + 1 2 2 ( 1 5 2 + 2 6 2 + 3 7 2 + 4 8 2 ) + 1 3 2 ( 1 10 2 + ⋯ + 6 15 2 ) + … {displaystyle gamma =sum _{k=2}^{infty }{frac {k-lfloor {sqrt {k}}rfloor ^{2}}{k^{2}lfloor {sqrt {k}}rfloor ^{2}}}={tfrac {1}{2^{2}}}+{tfrac {2}{3^{2}}}+{tfrac {1}{2^{2}}}left({tfrac {1}{5^{2}}}+{tfrac {2}{6^{2}}}+{tfrac {3}{7^{2}}}+{tfrac {4}{8^{2}}}right)+{tfrac {1}{3^{2}}}left({tfrac {1}{10^{2}}}+dots +{tfrac {6}{15^{2}}}right)+dots } γ {displaystyle gamma } 的连分数展开式为：