非线性偏微分方程

非线性偏微分方程起源于各种应用科学中，如固体力学、流体力学、声学、非线性光学、等离子域物理学、量子场论等学科。

函数关系 F(,x_1,X_2..x_n,u,u_x1,u_x2..u_xn,u_x1x2,u_x1x3...)=0 是一个广义的偏微分方程，如果 u，v 是此微分方程的两个解，而（au+bv) 也是此微分方程的解，则此偏微分方程称为线性偏微分方程，否则称为非线性偏微分方程。

${\displaystyle v_t=v_{xx}-<!--\; -\; -->s\ast <!--\; \ast \; -->u\ast <!--\; \ast \; -->v}$

${\displaystyle v_t+2\ast <!--\; \ast \; -->(vu{)}_x+v_{xx}=0}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^3}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\ast <!--\; \ast \; -->v+2u\ast <!--\; \ast \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}}$

${\displaystyle v(x,t{)}_{xt}+u(x,y,t{)}_{xx}\ast <!--\; \ast \; -->v(x,t)+}$${\displaystyle 2\ast <!--\; \ast \; -->u(x,y,t{)}_x\ast <!--\; \ast \; -->v(x,t{)}_x+u(x,y,t)\ast <!--\; \ast \; -->(v(x,t{)}_{xx}+}$${\displaystyle u(x,y,t{)}_{xx}+u(x,y,t{)}_{xxxx}+u(x,y,t{)}_{yy}=0}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(w)=b(u_{yy}{w}_{xx}+u_{xx}{w}_{yy}-<!--\; -\; -->2u_{xy}{w}_{xy})+c}$