无尺度网络

在网络理论中，无尺度网络（Scale-free network，或称无标度网络）是带有一类特性的复杂网络，其典型特征是在网络中的大部分节点只和很少节点连接，而有极少的节点与非常多的节点连接。这种关键的节点（称为“枢纽”或“集散节点”）的存在使得无尺度网络对意外故障有强大的承受能力，但面对协同性攻击时则显得脆弱。现实中的许多网络都带有无尺度的特性，例如因特网、金融系统网络、社会人际网络等等。

无尺度网络的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”:4:9。复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。这样的网络会出现简单网络中没有的特殊拓扑特性:2。

自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有${\displaystyle n}$）中提出了一种补充性的标度性测度。设${\displaystyle G(D)}$）。阿喀琉斯是古希腊神话中的英雄，他出生后，他的母亲捏着他的脚踝将他浸泡在冥河中，从此他的身体刀枪不入，只有踵部没被浸到，是为其致命弱点。因此如今“阿喀琉斯之踵”常被用来称呼一个系统的致命缺陷。这篇文章中从因特网的无尺度特性出发，探讨它对意外故障的承受能力。

假设在一个网络中移除一个节点，以及与其相关的连接，那么原网络中的其他点也可能受到影响：原本相连的两个节点可能不再相连；即使相连，从其中一处到另一处可能需要经过更多的路途。总的来说，网络的连通性降低了。文章比较了ER随机网络模型与BA模型在移除少量节点时对网络连通性的影响。这个影响主要使用最大连通子图的大小${\displaystyle S}$与平均路径长度${\displaystyle l}$来衡量。在执行“随机攻击策略”，也就是在网络中随机地去除一些节点时，无尺度网络的${\displaystyle S}$比随机网络下降慢得多，${\displaystyle l}$的增长也缓慢得多。但是在执行“蓄意攻击策略”，也就是选择移除连接度最高的节点时，则会得到相反的结果。受到随机攻击的随机图会分裂成几个较小的子图，而无尺度网络则有很大概率保持连通；然而面对蓄意攻击（或称协同攻击）时，只需要移除5-10%的高于5度的节点，就能彻底瘫痪无尺度网络:31-33。

流行病或网络病毒在复杂网络中的传播也是复杂网络研究的方向之一。在均匀网络如ER模型随机网络或小世界网络中，如果考虑易感（S）→感染（I）→易感（S）的SIS模型，那么存在一个与网络特性相关的临界值，当有效传播率高于这个临界值的时候，传染病会在网络中传播并稳定在某个恒定密度上（激活相态）。而当有效传播率低于这个临界值时，传染病会很快逐渐消亡（吸收相态）:73-74。对于无尺度网络，由于度分布不均匀，临界值比较小。对于BA模型，临界值为0。也就是说，只要有效传播率大于0，病毒就能有效传播并达到稳定。而对于有限规模的无标度网络，临界值大于0，但会在均匀网络的十分之一左右。因此，无标度网络对于病毒传播的抵抗性较均匀网络脆弱得多。

由于无尺度网络应对流行病感染的脆弱性，人们提出不同的免疫策略来弥补。主要研究的免疫策略有三种：随机免疫、选择免疫与熟人免疫:79。

随机免疫是在网络中随机抽取一部分节点进行免疫。研究表明，采取这种策略的话，需要对网络中几乎所有的节点都进行免疫才能保证最终消灭传染病:79。

选择免疫是在网络中抽取度最大的节点进行免疫。就BA模型而言，采取这种策略的话，即使有效传播率变化，也可以只免疫很小一部分节点就保证消灭传染病:79。

由于选择免疫需要知道全局节点的度数情况，才能找到度数最大节点进行免疫，这在面对互联网等庞大的复杂网络时会导致难以操作。熟人免疫采取的是随机抽取一部分节点，然后对每个节点随机选一个与之相连的“邻居”节点来进行免疫。由于在无尺度网络中，度大的节点可以与非常多的节点相连，因此选择“邻居”免疫的话，碰到度大节点的概率会比碰到度小节点的概率大得多。所以熟人免疫要比随机免疫有效得多，只略差于选择免疫:79。

音乐会或歌剧完场时，台下的观众不间断地鼓掌。在很短几次后，鼓掌的频率就会变得同步。这种现象显示出网络的同步性。研究表明，网络动力系统的同步性取决于节点动力系统的特性，节点的耦合方式与网络的结构。对于BA模型网络，节点数的增加不会降低网络同步的稳定性。而面对随机攻击和蓄意攻击，BA模型网络的同步性与连通性表现出相同的特征：对于随机攻击承受性强，而对蓄意攻击则显得脆弱:79。