字 (群论)

在群论中，字是群的任何元素和它们的逆元写成的乘积。例如，如果 , 和 是群 的元素，则 , -1 和 -1-1-1 都是集合 {, , } 形成的字。字在自由群和展示理论中扮演重要角色，并是组合群论的中心研究对象。

设 是群，并设 是 的子集。 形成的字是如下形式的表达式

这里的 ₁,..., 是 的元素并且每个 都是 ±1。数 叫做字的长度。

用 形成的每个字表示 的一个元素，也就是这个表达式的乘积。按惯例，单位元可以被表示为空字，它是长度为零的唯一的字。

在书写字的时候，经常使用指数符号来简写。例如，字

可以写为

后者表达式自身不是个字，它简单的是最初的字的简写符号表示。

在处理长字的时候，使用上划线来指示 的元素的逆元是很有帮助的。使用上划线符号，上述字可以写为如下:

群 的子集 叫做生成集，如果所有 的元素可以用 形成的字来表示。如果 是生成集，关系是表示在 中相同的元素的一对 形成的字。它们通常写为等式:

关系的集合 ${\displaystyle \mathcal{R}}$，如果所有 中的关系可以从 ${\displaystyle \mathcal{R}}$ 的展示是有序对 ${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->S\mid <!--\; \mid \; -->\mathcal{R}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 是 的生成集而 ${\displaystyle \mathcal{R}}$ 不是 的生成集的时候，用 形成的字表示的元素的集合是 的子群。这叫做 生成自 的子群，并通常指示为 ${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->S⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 的元素的 的最小子群。

其中生成元接着它自己的逆元出现(-1 或 -1)的任何字可以通过省略冗余对来简化:

这个运算叫做简约，并且它不改变这个字表示的元素。(简约可以被认为是从群公理推出的关系。)

简约字是不包含冗余对的字。任何字都可以通过进行一序列的简约而简化成简约字:

结果不依赖于进行简约的次序。

如果 是任何集合， 上的自由群是带有展示 ${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->S\mid <!--\; \mid \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 上的自由群是 的元素在没有额外的关系下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的写为 形成的简约字。

一个字是循环简约的，当且仅当字的所有循环置换是简约的。

带有生成集合 的群 的规范形式是对给每个 的元素的 形成的一个简约字的选择。例如:

两个字的乘积可以通过串接获得:

是两个字都是简约的，乘积也可能不是简约的。

字的逆可以通过反转每个生成元，并对换元素的次序来获得:

字和它的逆元的乘积可以简约为空字:

可以通过共轭把一个生成元从字的开始处移动到结尾处:

给定一个群 的展示 ${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->S\mid <!--\; \mid \; -->\mathcal{R}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 中的两个字作为输入，确定它们是否表示 的相同元素。字问题是 Max Dehn 在 1911 年提出的三个算法问题之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年证明了存在有限展现的群 使得 的字问题是不可决定性的（Novikov 1955）。