平面图 (图论)

在图论中，平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上，并使得不同的边互不交叠，那么这样的图不是平面图，或者称为非平面图。完全图 K₅和完全二分图 K_3,3（汤玛森图）是最“小”的非平面图。

一个将平面图画在平面上的方法称为平版图，又称为图的平面嵌入，更精确地说，平版图包含一个平面图与一个映射，此映射将平面图的顶点对应到平面上的一点，边对应到一条平面曲线段，满足边两端点对应到线段的两端点，并且线段之间除了在端点之外都不相交。

借由球极投影可知一个图可以被嵌入平面当且仅当可以被嵌入球面。图的球面嵌入在拓朴等价（英语：topological conjugacy）关系中的等价类称为平面映射。注意到一个平版图会有外围面，又称无界面，但因为平面映射定义是在球面上的等价类，不会有任何一个面有这个特殊的地位。

平面图可以被视为一个组合映射（英语：combinatorial map）。

1930年，波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基提出的一类禁用准则（指满足某种条件的图就一定无法具有某个性质）中，包括了平面图的情况。这个定理现在被称作库拉托夫斯基定理：

一个简单图是平面图当且仅当它并不包含一个是 K₅ 或 K_3,3 的分割的子图。

其中， K₅ 代表有 5 个点的完全图，K_3,3 代表两部分各 3 个点的完全二分图，分割的定义如下。考虑一个作用，将一个边中间插入一个顶点，如下图

可以将图 B 做有限次的上述操作可以得到图 A，则称 A 是 B 的细分图。

用图的同胚理论来说，就是一个有限图是平面图当且仅当这个图不包含任何同胚于${\displaystyle K_5}$ 的。通过讨论 ${\displaystyle G}$ 的如果他可以被画在平面上，使得各个面，包括外围面，都是凸多边形。一个图是凸平面图当且仅当它是一个3-连通（英语：k-vertex-connected graph）平面图的分割。

谢纳曼猜想（英语：Scheinerman's conjecture） (现在是定理) 说所有平面图都可以表示成平面上一些线段的交集图（英语：intersection graph）。

平面图分离定理（英语：planar separator theorem）说给定任何包含 n 个顶点的平面图，都可以借由移除至多 ${\displaystyle O(\sqrt{n})}$个点来将原图分开成两个部分，并且各部分的顶点数不超过 ${\displaystyle \frac{2}{3}n}$个。由此可推得平面图的树宽值（英语：treewidth）和分支宽值（英语：branch-width）至多 ${\displaystyle O(\sqrt{n})}$。

存在复杂度为 O(n) 算法来判断两个 n 点的平面图是否同构，参见图同构问题。

欧式图是一个以平面上的点以及之间用欧几里得距离的边连接的图。

网格化系数（英语：Meshedness coefficient）定义为一个平面图的面个数除以 2n-5 (平面图最大的面数）。所以网格化系数最小是0（树），最大是1。

单词可表（英语：Word-representable graph）平面图包含了一个没有三角形的平面图，更一般的说，是可3着色的平面图。

设 G 是一个平版图，G 不见得是简单图，定义 G 的对偶图 G* 如下述。在 G 中的每个面 (包括外围面) 取一个点，作为 G* 的顶点，对于 G 中的每个边 e，画一条 G* 中的边 e* 连接与 e 相邻的两个面中的顶点，而且 e* 要穿过 e。如果与 e 相邻的两面是同一个，则对该面中的点画一个穿过 e 的自环，如果 G 中两相邻面的交界包含多个边，则 G* 中的两点之间要连多条边，如右图。

此时对偶图 G* 也是平版图，而且如果 G 是连通的，则 G** 与 G 在球面上是拓朴等价的，换句话说，他们是相同的平面映射。如果 G 是多面体 Γ 对应到的多面体图，则 G* 是 Γ* 对应到的多面体图，其中 Γ* 是 Γ 的对偶多面体。

对偶图的重要性在于，对偶图和原图的性质的关系往往是易于刻划的，因此，有时研究一个平版图 (或平面图) 的对偶图的性质有助于对原图的了解。注意到，一个平版图的对偶图在拓朴等价下是唯一的，但一个平面图可能有多种平面嵌入的方式，因此可能会对应到多个不同的对偶图。