夹挤定理

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夹挤定理（英语：Squeeze theorem），又称夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有关函数的极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

设${\displaystyle I}$为包含某点${\displaystyle a}$的区间，${\displaystyle f,g,h}$为定义在${\displaystyle I}$上的函数。若对于所有属于${\displaystyle I}$而不等于${\displaystyle a}$的${\displaystyle x}$，有：

则${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=L}$。

${\displaystyle g(x)}$和${\displaystyle h(x)}$分别称为${\displaystyle f(x)}$的下界和上界。

${\displaystyle a}$若在${\displaystyle I}$的端点，上面的极限是左极限或右极限。对于${\displaystyle x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$，这个定理还是可用的。

对于 ${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{x}^2\sin <!--\; \; -->\frac{1}{x}}$，

在任何包含0的区间上，除了${\displaystyle x=0}$，${\displaystyle f(x)=x^2\sin <!--\; \; -->\frac{1}{x}}$均有定义。

对于实数值，正弦函数的绝对值不大于1，因此${\displaystyle f(x)}$的绝对值也不大于${\displaystyle x^2}$。设${\displaystyle g(x)=-<!--\; -\; -->x^2}$, ${\displaystyle h(x)=x^2}$：

${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}g(x)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}h(x)=0}$，根据夹挤定理

对于 ${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}}$，

首先用几何方法证明：若，。

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。${\displaystyle C}$在${\displaystyle OD}$上，使得${\displaystyle AC}$垂直${\displaystyle OD}$。过${\displaystyle A}$作单位圆的切线，与${\displaystyle OD}$的延长线交于${\displaystyle E}$。

由定义可得${\displaystyle x=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AOD=arcAD}$，${\displaystyle \tan <!--\; \; -->x=AE}$。

因为${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}\cos <!--\; \; -->x=1}$，根据夹挤定理

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。一般高斯函数的积分是${\displaystyle I(a)={\int <!--\; \int \; -->}_0^a{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx}$，现在要求的是${\displaystyle I(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx}$。

被积函数对于y轴是对称的，因此${\displaystyle I(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$是被积函数对于所有实数的积分的一半。

${\displaystyle (2I{)}^2={}^2={}^2={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->a}^a{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->a}^a{e}^{-<!--\; -\; -->(x^2+y^2)}dxdy}$

这个二重积分在一个${\displaystyle (-<!--\; -\; -->a,-<!--\; -\; -->a),(-<!--\; -\; -->a,a),(a,-<!--\; -\; -->a),(a,a)}$的正方形内。它比其内切圆大，比外接圆小。这些可用极坐标表示：

若${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$，${\displaystyle g(x)=0}$，而且${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}h(x)=0}$。

设${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0}$，根据函数的极限的定义，存在${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0}$使得：若，则。

由于${\displaystyle 0=g(x)\le <!--\; \le \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->h(x)}$，故${\displaystyle |f(x)|\le <!--\; \le \; -->|h(x)|}$。

若 ，则。于是，${\displaystyle \underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=0}$。

${\displaystyle g(x)\le <!--\; \le \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->h(x)}$

${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->f(x)-<!--\; -\; -->g(x)\le <!--\; \le \; -->h(x)-<!--\; -\; -->g(x)}$

当${\displaystyle x\to <!--\; \to \; -->a}$：