abc猜想

abc猜想（英语： conjecture）是一个未解决的数学猜想，最先由约瑟夫·奥斯特莱及大卫·马瑟在1985年提出。abc猜想以三个互质正整数a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大学数理解析研究所望月新一教授于2012年提出论文证明，经过8年同行审查后于2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC项目“ABC@Home”。

abc猜想若得证，数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为“丢番图分析中最重要的未解问题”。（Goldfeld 1996）

对正整数，${\displaystyle \mathrm{rad}<!--\; \; -->(n)}$的根基（radical）。例如

若正整数, , 彼此互质，且 + =，“通常”会有 < rad()，例如：

但是也有反例，例如：

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad() < ，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想（一）

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(, , )的品质（quality），定义为：

例如：

一般的互质正整数的三元组，通常有 rad() > ，因此(, , ) < 1。大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子：

这三个正整数互质，且有${\displaystyle a_n+b_n=c_n}$趋向无限大时，${\displaystyle \frac{2^{n+1}}{3}}$，使得 < rad()对所有适合条件的三元组都成立。

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

abc猜想导出有的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：

上述的上界中，₁是不依赖, , 的常数，而₂和₃是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于, , 。上述的上界对 > 2的三元组都成立。

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组, , 使得rad() < 。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，但是期望借着这个计划发现的三元组的模式，可以得出对这个猜想以至于数论的新的洞见。

下述的是上节定义的品质。

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出 2380 万个三元组，现今目标在找出c不大于263的所有三元组(a,b,c)。

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将${\displaystyle \mathrm{rad}<!--\; \; -->(abc)}$用${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\mathrm{rad}<!--\; \; -->(abc)}$取代，在此${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$是${\displaystyle a,b,c}$的不同质因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础。该证明目前正由其他数学专家检查中。当Vesselin Dimitrov和Akshay Venkatesh在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误。望月新一在网上公开了2013年以及2014年的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix（英语：Jakob Stix）指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。