QR分解

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QR分解法是三种将矩阵分解的方式之一。这种方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。QR分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。

实数矩阵的QR分解是把分解为

这里的是正交矩阵（意味着T = ）而是上三角矩阵。类似的，我们可以定义A的QL, RQ和LQ分解。

更一般的说，我们可以因数分解复数${\displaystyle m}$ ≥ ）为${\displaystyle m}$ ∗ = 的意义上，不需要是方阵）和${\displaystyle n}$是${\displaystyle m}$是非奇异的，且限定 的对角线元素为正，则这个因数分解是唯一的。

QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

Householder变换将一个向量关于某个平面或者超平面进行反射。我们可以利用这个操作对${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->n(m\geqq <!--\; \geqq \; -->n)}$维实列向量，且有${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->\mathbf{x}\Vert <!--\; \Vert \; -->=|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|}$ = cos() 和 = sin() 出现在第 行和第 行与第 列和第 列的交叉点上。就是说，吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下：:

乘积 (, , )x 表示向量 x 在 (,)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。

对于一个向量

如果，${\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}}$ , ${\displaystyle c=\frac{a}{r}}$ , ${\displaystyle s=-<!--\; -\; -->\frac{b}{r}}$ , 那么，就存在旋转矩阵G，使${\displaystyle A}$ 底部转成0。

每一次的旋转，吉文斯旋转都可以将一个元素化成0，直到将原始矩阵转成一个上三角矩阵，则完成分解。

对于:${\displaystyle A_2}$子矩阵 :${\displaystyle A_{2\mathrm{\_<!--\; \_\; -->}Sub}}$

格拉姆-施密特正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设${\displaystyle \mathit{v}\in <!--\; \in \; -->{\mathit{V}}^{\mathit{n}}}$。${\displaystyle {\mathit{V}}^k}$是${\displaystyle {\mathit{V}}^n}$上的${\displaystyle k}$维子空间，其标准正交基为${\displaystyle \{{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_k\}}$，且${\displaystyle \mathit{v}}$不在${\displaystyle {\mathit{V}}^k}$上。由投影原理知，${\displaystyle \mathit{v}}$与其在${\displaystyle {\mathit{V}}^k}$上的投影${\displaystyle {\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{\mathit{V}}^{\mathit{k}}}\mathit{v}}$之差

是正交于子空间${\displaystyle {\mathit{V}}^k}$的，亦即${\displaystyle \mathit{\beta <!--\; \beta \; -->}}$正交于${\displaystyle {\mathit{V}}^k}$的正交基${\displaystyle {\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i}$。因此只要将${\displaystyle \mathit{\beta <!--\; \beta \; -->}}$单位化，即

那么${\displaystyle \{{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_k,{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{k+1}\}}$就是${\displaystyle {\mathit{V}}^k}$在${\displaystyle \mathit{v}}$上扩展的子空间${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\mathit{v},{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,...,{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_k\}}$的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组${\displaystyle \{{\mathit{v}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{v}}_m\}}$张成的空间${\displaystyle {\mathit{V}}^m}$ ()，只要从其中一个向量（不妨设为${\displaystyle {\mathit{v}}_1}$）所张成的一维子空间${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{{\mathit{v}}_1\}}$开始（注意到${\displaystyle {\mathit{v}}_1}$就是${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{{\mathit{v}}_1\}}$的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到${\displaystyle {\mathit{V}}^n}$ 的一组正交基。这就是格拉姆-施密特正交化。

首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为${\displaystyle \{{\mathit{v}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{v}}_n\}}$。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

这样就得到${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{{\mathit{v}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{v}}_n\}}$上的一组正交基${\displaystyle \{{\mathit{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n\}}$，以及相应的标准正交基${\displaystyle \{{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n\}}$。

现在要用格拉姆-施密特变换求解矩阵${\displaystyle A}$的${\displaystyle QR}$ 分解。

令， ${\displaystyle a=}$

那么可知，

由${\displaystyle A=QR}$，可知，

MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为

此外，原矩阵A不必为正方矩阵；如果矩阵A大小为${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->n}$，则矩阵Q大小为${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->m}$，矩阵R大小为${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->n}$。

对于直接求解线性方程组的逆，用QR分解的方法求解会更具有数据的稳定性。对于求解一个线性系统${\displaystyle Ax=b}$, 这里${\displaystyle A}$的维度是${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->n}$。

如果${\displaystyle m\le <!--\; \le \; -->n}$, 那么${\displaystyle A^T=QR}$,这里${\displaystyle Q^T=Q^{-<!--\; -\; -->1}}$)。

${\displaystyle R}$ 的形式是 ${\displaystyle R=}$，${\displaystyle R_1}$是${\displaystyle R}$上不为0的部分。那么对于

如果${\displaystyle m>n}$, 那么${\displaystyle A=QR}$,这里${\displaystyle Q^T=Q^{-<!--\; -\; -->1}}$)。本质是最小化${\displaystyle ||A\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}-<!--\; -\; -->b||}$