哈斯图

✍ dations ◷ 2025-09-16 11:42:42 #序理论,图表

哈斯图（英语：Hasse 发音为/ˈhæsə/, 德语: /ˈhasə/）、在数学分支序理论中，是用来表示有限偏序集的一种数学图表，它是一种图形形式的对偏序集的传递简约。具体的说，对于偏序集合（S, ≤），把S的每个元素表示为平面上的顶点，并绘制从x到y向上的线段或弧线，只要y 覆盖x（就是说，只要x < y并且没有z使得x < z < y）。这些弧线可以相互交叉但不能触及任何非其端点的顶点。带有标注的顶点的这种图唯一确定这个集合的偏序。

哈斯图得名于Helmut Hasse（1898年–1979年）；依据Birkhoff (1948)，这么叫是因为Hasse有效的利用了它们。但是Hasse不是第一个使用它们的人，它们早就出现在如Vogt (1895)中。尽管哈斯图被设计为手工绘制偏序集合的技术，最近已经使用图绘制技术自动来生成它们了。

术语“哈斯图”还可以称呼作为抽象有向无环图的传递简约，独立于这个图的任何绘制形式，但是这里不采用这种用法。

尽管哈斯图是简单的处理有限偏序集的直观工具，绘制出好的哈斯图是非常困难的。原因是对于给定偏序集有任意多种可能的绘图方式。简单的技术就是开始于这个次序的最小元并逐步增加上更大的元素，这经常产生非常窘迫的结果：很容易丢失了这个次序的对称性和内部结构。

下面的例子展示这个问题。考虑集合S = {a, b, c, d}的幂集 ${\mathcal {P}}(S)\,$ ${\mathcal {P}}(S)\,$ ，就是说S的所有自己的集合，按照子集包含 $\subseteq$ $\subseteq$ 来排序。下面是这个偏序的三个不同哈斯图:

通过使得在这个幂集中每个集合的y坐标成比例于集合的势，最左图示展示了这个幂集是等级偏序集。中间图示有相同的等级结构，但使得某些边比其他边长，它把这个幂集的结构强调为两个三维立方体的联合：在两个立方体中下面的那个中的顶点表示不包含S的某个特定元素比如d的集合，而上面立方体的顶点表示包含d的集合。最右图示展示了这个结构的某种内部对称性。

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