杜哈梅积分

在振动理论中，杜哈梅积分（Duhamel's integral）是求解线性系统在任意外载激励下响应的一种方法。

受随时间变化的外载()和粘性阻尼作用下的线性单自由度（SDF）系统的运动方程是一个二阶常微分方程，可写为

其中为等效振子的质量，代表系统振幅，代表时间，是粘性阻尼系数，是系统刚度。

若初始静止于平衡位置的系统在=0时刻受到一个单位冲击载荷作用，即()是一个狄拉克δ函数()，${\displaystyle x(0)={\frac{dx}{dt}|}_{t=0}=0}$）为

其中${\displaystyle \mathrm{\varsigma <!--\; \varsigma \; -->}=\frac{c}{2m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n}}$作用下的实际振动圆频率。推广到任意时刻时受到冲击载荷${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$()视为一系列脉冲激励的迭加：

那么根据线性性质可知，系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的响应函数的迭加：

在${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$(-)的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式：