杜哈梅积分

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:39:43 #力学,数学物理

在振动理论中,杜哈梅积分(Duhamel's integral)是求解线性系统在任意外载激励下响应的一种方法。

受随时间变化的外载()和粘性阻尼作用下的线性单自由度(SDF)系统的运动方程是一个二阶常微分方程,可写为

其中为等效振子的质量,代表系统振幅,代表时间,是粘性阻尼系数,是系统刚度。

若初始静止于平衡位置的系统在=0时刻受到一个单位冲击载荷作用,即()是一个狄拉克δ函数(), x ( 0 ) = d x d t | t = 0 = 0 {\displaystyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0} )为

其中 ς = c 2 m ω n {\displaystyle \varsigma ={\frac {c}{2m\omega _{n}}}} 作用下的实际振动圆频率。推广到任意时刻时受到冲击载荷 δ ( t τ ) {\displaystyle \delta (t-\tau )} ()视为一系列脉冲激励的迭加:

那么根据线性性质可知,系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的响应函数的迭加:

Δ τ 0 {\displaystyle \Delta \tau \to 0} (-)的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式:

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