辛标记

在哈密顿力学里，因为哈密顿方程对于广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与广义动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 的运算在正负号上并不对称，必须用两个方程来表示：

这里， ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 是哈密顿量。

辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。辛标记的英文名 “Symplectic notation” 最先是德国著名数学家赫尔曼·外尔提出的。 Symplectic 这字原来在希腊文是纠缠或编结的意思；用在这里主要是形容广义坐标和广义动量互相编结在一起的情况。

设定一个 ${\displaystyle 2N\times <!--\; \times \; -->1}$ 的竖矩阵 ${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ :

此矩阵上半段是广义坐标、下半段是广义动量、${\displaystyle T}$ 代表转置运算。我们也可以将 ${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ 视为一个向量。

定义辛矩阵 ${\displaystyle \mathbf{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$ 为一个斜对称的 ${\displaystyle 2N\times <!--\; \times \; -->2N}$ 方块矩阵：

这里，${\displaystyle \mathbf{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$ 是由 4 个 ${\displaystyle N\times <!--\; \times \; -->N}$ 零矩阵${\displaystyle \mathbf{0}}$与单位矩阵${\displaystyle \mathbf{1}}$组成。

这样，哈密顿方程可以简易的表示为

正则变换是一种正则坐标的改变，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。所以，使用正则变换，正则坐标会从旧正则坐标 ${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ 改变成新正则坐标 ${\displaystyle \mathbf{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}$ ， ${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}$ ；哈密顿量也从旧的哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 改变成新的哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{K}}$ ，${\displaystyle \mathcal{H}\to <!--\; \to \; -->\mathcal{K}}$ ；但是，哈密顿方程的形式仍旧维持不变：

在相空间中，用正则坐标 ${\displaystyle \mathbf{q},\mathbf{p}}$ ，两个函数${\displaystyle f(\mathbf{q},\mathbf{p}),g(\mathbf{q},\mathbf{p})}$ 的泊松括号记作:

用辛标记，