定向 (向量空间)

数学中，实向量空间的一个定向（Orientation）是对哪些有序基是“正”定向以及哪些是“负”定向的一个选取。在三维欧几里得空间中，两个可能的基本定向分别称为右手系与左手系。但是定向的选取与基的手征性是独立的（尽管右手基典型地选为正定向，但它们也可规定为负定向）。

设 是一个实向量空间，₁ 和 ₂ 是 的两个有序基。线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换  : → ，将 ₁ 变为 ₂。如果 的行列式为正，则称基 ₁ 与 ₂ 有相同定向（或一致定向）；不然它们有相反的定向。有相同定向的性质在 的所有有序基上定义了一个等价关系。如果 非零，恰好存在两个由这个等价关系决定的等价类。 上一个定向是将其中一类置为 +1 而另一类为 -1 的一个规定。

每个有序基在一个等价类之中。故选取 的一个有序基决定了一个定向：选取的这个基的定向类规定为正的。例如：R 上的标准基在 R 上给出了一个标准定向。 与 R 之间选取一个线性同构可给出 的一个定向。

基中元素的顺序是关键。顺序不同的两个基可差某个置换。它们可能有相同或相反的定向，取决于这个置换的符号 ±1。这是因为置换矩阵的行列式等于相应置换的符号。

上面定义的定向概念对零维向量空间只有一个定向（因为空矩阵的行列式是 1）。但是对一个点规定不同的定向可能是有用的（例如，定向一维流形的边界）。定向的另一个与维数无关的定义如下： 的一个定向是从 的有序基集合到集合 ${\displaystyle \{\pm <!--\; \pm \; -->1\}}$-维实向量空间 ，我们可构造 的 -次外幂，记作 Λ。这是一个维数为 (,) 的向量空间。故向量空间 Λ （称为最高外幂）的维数为 1。即 Λ 就是实直线。这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的。一个定向就是这样一个选取。任何非零线性形式 ω on Λ 决定了 的一个定向，当 ω() > 0 时规定 是正定向的。为了与基本的看法联系起来，我们说正定向基是那些 ω 取正数的（因为 ω 是一个 -形式，我们可在 个向量的有序基上取值，给出 R 中一个元素）。形式 ω 称为一个定向形式（orientation form）。如果 {} 是 先给定的基而 {*} 是对偶基，则给出标准定向的定向形式是 ₁*∧₂*∧…∧*。

这与行列式观点的联系是：一个自同构 ${\displaystyle T:<!--\; :\; -->V\to <!--\; \to \; -->V}$ 是 的所有有序基集合。则一般线性群 GL() 自由传递作用在 上（花哨的语言， 是一个 GL()-torsor）。这意味着作为一个流形 （非典范地）同构于 GL()。注意到群 GL() 不是连通的，而有两个连通分支，对于于变换的行列式的正负号（除了 GL₀，这是平凡群故只有一个连通分支；这对应于一个零维向量空间的典范定向）。GL() 的单位分支记作 GL+()，由所有正行列式的变换组成。GL+() 在 上的作用不是传递的：有两个轨道，分别对应于 的连通分支。这两个轨道恰是上面所说的等价类。因为 没有特定的元素（即一个特别的基），故没有自然选取哪个分支是正的。将其与 GL() 对比，后者有一个特别的分支：单位分支。 与 GL() 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基，从而决定了一个定向。

更形式地：${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(GL(V))=(GL(V)/G{L}^{+}(V)=\{\pm <!--\; \pm \; -->1\}}$-标架的斯蒂弗尔流形（Stiefel manifold（英语：Stiefel manifold））是一个 ${\displaystyle GL(V)}$-维可微流形 上每一点 有一个切空间 ，这是一个 -维实向量空间。每个这样的向量空间可规定一个定向。但是我们想知道是否可以选取定向使得它们从点到点“光滑变化”。由于某些拓扑限制，当在某些情形是可能的。在切空间上存在一个光滑定向的流形称为可定向的。关于流形的定向，参见可定向性一文。