无效证明

✍ dations ◷ 2025-07-25 00:04:03 #无效证明

在数学里,有着许多明显矛盾的虚假证明存在。即使其证明是有缺陷的,其错误——通常是经过设计的——却常是较难抓摸的。这些谬误一般都尽止于好奇而已,但可以被用来显示严谨在数学中的重要性。

大多数此类的证明都仰赖著同种错误的变形。此一错误为采一非单射的函数 f {displaystyle f}

此一证明是无效的,因为最大的正整数不存在,因此不能如此假设。

此一证明是无效的,因为负数的开方不是实数, 1 1 = 1 1 {displaystyle {sqrt {frac {1}{-1}}}={sqrt {frac {-1}{1}}}}

这个证明的错误点在于第五步, {displaystyle ,}

那一证明内的错误在于 x 2 = y 2 {displaystyle x^{2}=y^{2}}

此证明的错误在于 a b = a × b {displaystyle {sqrt {ab}}={sqrt {a}}times {sqrt {b}}}

这个证明的错误在于,无穷等比级数在公比的绝对值大于等于一的情况下,将括号插入无穷级数求无穷和是没有意义的,因为这样的无穷等比级数和发散。因此这类条件不适用于格兰迪级数 s = 1 1 + 1 1 + 1 1 + {displaystyle s=1-1+1-1+1-1+cdots }

首先,我们知道:

由于 a m n = a m a n {displaystyle a^{m-n}={frac {a^{m}}{a^{n}}}}

这个证明的错误在于, a m n = a m a n {displaystyle a^{m-n}={frac {a^{m}}{a^{n}}}}

这个证明的错误在于:

1、在以上的假设下,可得 v = b c = ( x + y ) 2 4 ( x 2 x y + y 2 ) = 3 ( x y ) 2 = 3 a 2 = 3 u 2 {displaystyle v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}}

这个证明的错误在于,只有在△ABC为等腰三角形,P才会位于三角形的内部,而且AP与DP会重合。

给定一个矩形ABCD,证明∠DCB=∠ECB;

这个证明的错误在于,由于△ABH≅△ECH,则∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转,因AH穿过了矩形ABCD,则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

我们从计算以下的不定积分开始:

利用分部积分法,可得:

因此:

所以,有:

这个证明的错误在于,忽略了积分完会出现的积分常数C。若继续计算,会得到 1 + 1 x d x = 1 + ln   | x | + C = ln   | x | + C {displaystyle 1+int {frac {1}{x}}dx=1+ln |x|+C=ln |x|+C'}

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