无效证明

在数学里，有着许多明显矛盾的虚假证明存在。即使其证明是有缺陷的，其错误——通常是经过设计的——却常是较难抓摸的。这些谬误一般都尽止于好奇而已，但可以被用来显示严谨在数学中的重要性。

大多数此类的证明都仰赖著同种错误的变形。此一错误为采一非单射的函数${\displaystyle f}$

此一证明是无效的，因为最大的正整数不存在，因此不能如此假设。

此一证明是无效的，因为负数的开方不是实数，${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-<!--\; -\; -->1}}=\sqrt{\frac{-<!--\; -\; -->1}{1}}}$

这个证明的错误点在于第五步，${\displaystyle }$

那一证明内的错误在于${\displaystyle x^2=y^2}$

此证明的错误在于${\displaystyle \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times <!--\; \times \; -->\sqrt{b}}$

这个证明的错误在于，无穷等比级数在公比的绝对值大于等于一的情况下，将括号插入无穷级数求无穷和是没有意义的，因为这样的无穷等比级数和发散。因此这类条件不适用于格兰迪级数 ${\displaystyle s=1-<!--\; -\; -->1+1-<!--\; -\; -->1+1-<!--\; -\; -->1+\cdots <!--\; \cdots \; -->}$

首先，我们知道：

由于${\displaystyle a^{m-<!--\; -\; -->n}=\frac{a^m}{a^n}}$

这个证明的错误在于，${\displaystyle a^{m-<!--\; -\; -->n}=\frac{a^m}{a^n}}$

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得${\displaystyle v=b-<!--\; -\; -->c=(x+y{)}^2-<!--\; -\; -->4(x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2)=-<!--\; -\; -->3(x-<!--\; -\; -->y{)}^2=-<!--\; -\; -->3a^2=-<!--\; -\; -->3u^2}$

这个证明的错误在于，只有在△ABC为等腰三角形，P才会位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

我们从计算以下的不定积分开始：

利用分部积分法，可得：

因此：

所以，有：

这个证明的错误在于，忽略了积分完会出现的积分常数C。若继续计算，会得到${\displaystyle 1+\int <!--\; \int \; -->\frac{1}{x}dx=1+\ln <!--\; \; -->|x|+C=\ln <!--\; \; -->|x|+C^{\prime }}$。