狄拉克δ函数

✍ dations ◷ 2025-04-12 10:05:30 #狄拉克δ函数

在科学和数学中，狄拉克δ函数或简称δ函数（译名德尔塔函数、得耳他函数）是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。δ函数有时可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰，在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。

从纯数学的观点来看，狄拉克δ函数并非严格意义上的函数，因为任何在扩展实数线上定义的函数，如果在一个点以外的地方都等于零，其总积分必须为零。δ函数只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点，δ函数一般可以当做普通函数一样使用。它形式上所遵守的规则属于运算微积分（英语：operational calculus）的一部分，是物理学和工程学的标准工具。包括δ函数在内的运算微积分方法，在20世纪初受到数学家的质疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才发展出一套令人满意的严谨理论。严谨地来说，δ函数必须定义为一个分布，对应于支撑集为原点的概率测度。在许多应用中，均将δ视为由在原点处有尖峰的函数所组成的序列的极限（弱极限（英语：weak limit）），而序列中的函数则可作为对δ函数的近似。

在信号处理上，δ函数常称为单位脉冲符号或单位脉冲函数。克罗内克δ函数是对应于狄拉克δ函数的离散函数，其定义域为离散集，值域可以是0或者1。

函数的图形通常可以视为整条轴和正轴。虽然称为函数，但函数并非真正的函数，至少它的值域不在实数以内。例如，() = ()和() = 0这两个数学对象除了在 = 0以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论，若和为函数，使得 = 几乎处处成立，则可积当且仅当可积且和的积分相同。要严谨处理函数，须用到测度论或分布。

函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数（脉冲），用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说，要描述球杆击球的动力学问题，可以用函数描述击球那一刻的力。不但各种方程会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。

在应用数学中，函数往往能看作是某函数序列的极限（弱极限），该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰，例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。

约瑟夫·傅里叶在他的《热分析理论》（法语：）中呈现了以下的方程，今天称为傅里叶积分定理：

这相当于以这种方式引入了函数：

之后，奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理：

柯西指出，在某些情况下，积分的计算顺序会影响计算结果。

分布理论允许重新排列柯西方程，使它更接近以上傅里叶的方程：

其中函数可表达为：

在接下来的几个世纪，数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义，以及方程中的函数所需的条件。用旧有的数学观念来理解，会有以下的问题：

之后，米歇尔·普朗歇尔（Michel Plancherel）开创性的2理论（1910年）、诺伯特·维纳和萨洛蒙·博赫纳（英语：Salomon Bochner）（Salomon Bochner）的贡献（1930年前后）以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论（1945年）进一步推广了傅里叶积分，并建立了狄拉克函数的严格定义。

1827年，柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数（柯西分布的无限小版本）。西莫恩·德尼·泊松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候，考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限，这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末，奥利弗·亥维赛利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。1930年，保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了函数作为一种“方便的记号”，故此该函数今天以他命名。

笼统地来说，函数是在实数线上的一个函数，在原点上无限，在所有其他点上为零，

并同时满足以下条件

这只是一个概略的表述：函数并不是一个严格意义上的函数，没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。更严谨地来说，函数可以定义为分布或测度。

测度是其中一种严谨定义函数的方法。作为一个测度，函数取一个实线R的子集，当0 ∈ 时输出() = 1，否则() = 0。如果把函数想象成位于0的一个理想化的质点，则()代表集合所包含的质量。一个函数相对于的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数，这一积分满足：

测度相对于勒贝格测度不绝对连续，它其实是一个奇异测度（英语：Singular measure）。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数：

虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。

作为R上的概率测度，狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义：

换句话说，()是积累指示函数1_{(−∞, ]}相对于测度的积分：

函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼－斯蒂尔杰斯积分严格定义：

函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。

在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这测度的勒贝格积分。

测试函数空间一般可包括所有 ${displaystyle mathbf {R} }$ 函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为

${displaystyle forall varphi ,delta =varphi (0).}$ 成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函 ${displaystyle S}$ 分布时，对所有的 ${displaystyle N}$ 是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是 ${displaystyle {0}}$ 函数”时，一般指的是分布，而不是测度。因此一些文献也会称之为“狄拉克分布”。测度论中相对应的概念则称为狄拉克测度（英语：Dirac measure）。

在维欧几里得空间R中，狄拉克函数可以定义为一个测度，使得对于所有紧支撑连续函数，满足

作为一个测度，维函数是每个独立变量的1维函数的积测度。也就是说，若x = (₁, ₂, ..., )，则

${displaystyle delta (mathbf {x} )=delta (x_{1})delta (x_{2})cdots delta (x_{n}).}$ 分布也存在维推广。尽管在物理学和工程学中应用广泛，公式(2)还是必须小心使用，因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。

狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。设是集合，₀ ∈ ，Σ为子集上的任何σ-代数，则对每个集合 ∈ Σ可以定义测度：

这就是单位质量集中在₀处的狄拉克测度。

函数也可以推广至微分流形，由于具有微分结构，因此能保留它作为分布的一些性质。流形上以₀ ∈ 为中心的函数可定义为以下分布：

${displaystyle delta _{x_{0}}=varphi (x_{0})}$ 上的紧支撑光滑实数值函数。一个常见的特殊情况是，是欧几里得空间R中的一个开集。

在局部紧豪斯多夫空间中，集中在点的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数的Daniell积分(3)的拉东测度。推广到这一层次，已经无法进行普通的微积分，不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如，映射 ${displaystyle x_{0}mapsto delta _{x_{0}}}$ 嵌入到包含所有在上的有限拉东测度的空间（具有淡拓扑）的一个连续函数。而且，在这一嵌入下的值域的凸包，在在上的概率测度空间中是一个稠密集。

对非零标量 ${displaystyle alpha }$ 函数有以下缩放性质：

所以

${displaystyle delta (alpha x)={frac {delta (x)}{|alpha |}}.}$ 函数是一个偶分布，也就是说

因此函数属于−1阶齐次函数。

和 ${displaystyle x}$ 函数的积分为：

因此函数有“筛选”或“采样”的功能──可以筛选出函数在 ${displaystyle t=T}$ 函数卷积后会受到延时：

这必须在 ${displaystyle f}$ 视为分布）

更一般地来说，分布可以和光滑函数 ${displaystyle g(x)}$ 都成立。因此，定义域必须切割开来，排除 ${displaystyle g'=0}$ 分布的广义缩放特性，用积分写出：

分布在 ${displaystyle n}$ 是一个 ${displaystyle n}$ 分布在任何镜射和旋转 ${displaystyle rho }$ 与双利普希茨函数 ${displaystyle g:mathbf {R} ^{n}to mathbf {R} ^{n}}$ 函数与从一个欧几里得空间到另一个不同维度的空间的浸没的复合，所产生的结果是一种流。在连续可微函数 ${displaystyle g:mathbf {R} ^{n}to mathbf {R} ^{n}}$ 函数属于缓增分布，所以拥有良好定义的傅里叶变换。正式地说，（在一些傅里叶变换惯例下）有

一个分布的傅里叶变换的定义是，在缓增分布与速降函数的对偶配对 ${displaystyle langle cdot ,cdot rangle }$ 。从此可推导，的确 ${displaystyle {hat {delta }}=1}$ 函数与任何其他缓增分布的卷积即等于：

这意味着，是缓增分布上的卷积的单位元。而且，在卷积下的紧支撑分布空间是一个以函数为单位元的结合代数。这在信号处理应用中尤其重要，因为与缓增分布的卷积属于线性时不变系统，而基于函数的线性时不变系统可以测量该缓增分布的冲激响应。只要对作适当的近似，就可以以任意要求的程度算出冲激响应。一旦知道冲激响应，就能完全描述整个系统的特征。详见线性时不变系统理论：冲激响应和卷积。

缓增函数() = 1的反傅里叶变换等于函数。更正式地表达，

更严谨地来说，有

对于一切速降函数。

这样，函数暗示著在R上的傅里叶核的正交性，即：

换句话说，缓增分布

的傅里叶变换是

这同样可以通过对傅里叶变换要求自伴性而得出。

利用傅里叶变换的解析延拓，可以得出函数的拉普拉斯变换：

狄拉克分布的分布导数是一个分布′，它对于所有紧支撑光滑测试函数定义为

此处第一个等号类似于分部积分，因为若是个真正的函数，则

的阶导数的定义大同小异，对任何测试函数，

从而是个无限可微分布。

函数的一阶微分是差商

的分布极限。更准确地说，有

其中τ是平移算子，对于函数的定义是() = ( + )，而对于分布的定义是

在电磁学中，函数的一阶导数代表一个位于原点的点磁偶极，因此也称为“偶极”或偶函数。函数的导数满足一些基本性质，包括：

这些性质都可以通过对测试函数积分，并运用分部积分法推导而出。

另外，′与紧支撑光滑测试函数的卷积为

这来自卷积的分布导数的性质。

更一般地说，在维欧几里得空间R中的开集上，以点 ∈ 为中心的狄拉克分布定义为

对于一切 ∈ ()，其中()是所有上的紧支撑光滑函数的空间。若 = (₁, ..., )是任何多重指标，而∂表示相关的混合偏导数算子，则的阶导数∂是

对于一切 ∈ ()。也就是说，的阶导数是个分布，它在任何测试函数的值等于在点的阶导数（加上合适的正负号）。

函数的一阶偏导数可以视为沿着坐标平面的双层。更一般地来讲，支撑在一个曲面上的单层的法向导数是在该曲面上的双层，并表示一个层磁单极。函数的更高阶导数，在物理学里称为多极。

高阶导数很自然地能够建构具有单元素支撑集的分布的完整结构。若是任何在上、支撑集为一个点{}的分布，那么存在整数和一组系数_α，使得

函数可以视为一个函数序列的极限：

其中()有时称为初生函数。这一极限是个弱极限：对于一切紧支撑连续函数，有

${displaystyle lim _{varepsilon to 0^{+}}int _{-infty }^{infty }eta _{varepsilon }(x)f(x),dx=f(0) }$ 都存在。这两种不同的弱收敛模式往往有十分微妙的差异，前者是依测度的淡拓扑收敛，而后者则是分布的收敛。

通常一个初生函数可以如下建构。设是一个R上的总积分为1的绝对可积函数，并定义

在维当中，改用以下缩放

在简单的变量更换之后，可见的积分同样等于1。不难证明，(5)对于一切连续紧支撑函数都成立，从而作为一个测度向弱收敛。

这样建构的叫做对单位元的近似，因为包含所有绝对可积函数的空间1(R)在函数卷积这一作用下闭合： ∗ ∈ 1(R)，当和都属于1(R)。然而，1(R)在卷积下并没有单位元：没有任何元素使得 ∗ = 对于所有都成立。但序列仍然能够近似这种单位元，就是说

在平均收敛（即1中的收敛）下，此极限存在。要确保几乎处处点收敛，还需要对加上更多的前提，比如它必须是对应于一个紧支撑函数的柔化函数。

如果最初的 = ₁本身已经是光滑的而且具有紧支撑，那么整个序列就叫做柔化序列。标准柔化序列可以通过选择某个适当归一化的冲激函数来定义，例如

在数值分析等的一些情况下，以分段线性函数对单位元进行近似会更加有用。可以定义₁是一个三角形函数，然后有

它们全部都是连续的且具有紧支撑，但不是光滑的，从而也不是柔化函数。

在概率论中，很自然地会加入一项额外条件，亦即要求对单位元近似的初始₁是正的，因为这样它就会代表一个概率分布。有时需要和概率分布来卷积的原因是，输出值是输入值的凸组合，因此处于最高与最低输入值之间，从而能够避免过冲或下冲。取₁为任何随意的概率分布，并如上设() = ₁(/)/，就可以取得对单位元的近似。此外，如果的平均值为0，且更高矩较小，那么序列就会向函数收敛得更快。比如，设₁是上的均匀分布，即矩形函数，则：

又以维格纳半圆分布举例，

这是连续的，且具有紧支撑，但因为不是光滑的，所以也不是柔化函数。

初生函数往往以卷积半群的身份出现。这相等于另加一个条件──与的卷积必须满足

对于所有和 > 0。1中形成初生函数的卷积半群一定是对单位元的近似（用上式的意思），但半群设下了限制性颇强的条件。

在实践当中，对单位元的半群近似出现在物理学所启发的椭圆型和抛物型偏微分方程中，作为基本解或格林函数。在应用数学中，半群是线性时不变系统的输出。抽象地来说，若是一个作用在的函数上的线性算子，则在对初值问题求解时会出现卷积半群：

其中极限同样是弱极限。设() = (, )，得出相关的初生函数。

下面将列出若干有物理意义的、在此类基本解中所出现的卷积半群。

热核，定义是

代表的是一条无限长丝在 > 0时的温度，如果在 = 0时在原点处储藏了一个单位的热能。此半群依照一维热传导方程演变：

在概率论中，()是一个平均值为0、方差为的正态分布。它代表了一个粒子从原点开始，作标准布朗运动，在 = 这一刻的概率密度函数。在这种情况下，半群条件也就体现了布朗运动的马尔可夫性质。

在高维欧几里得空间R中，热核等于

并且在作必要的修改后有着相同的物理解释。而且，当 → 0， → ，因此它也代表了一个初生函数。

泊松核

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一个半无限平板在边缘的电势固定为函数时的电势。泊松核也和柯西分布有紧密的联系。半群根据以下方程演变：

其中的算子严谨地定义为傅里叶乘数

在波动力学等物理范畴中，须要解不少双曲型偏微分方程，而这些方程有更多的奇异解。因此，从相关的柯西问题的基本解所产生的初生函数，一般都是震荡积分。例如，从穿音速气体动力学的欧拉-特里科米方程（英语：Euler–Tricomi equation）的解，取得归一化艾里函数

虽然用的是傅里叶变换，但是不难看到，这从某种意义上产生了一个半群，只不过由于它不是绝对可积的，所以无法从上文更强的意义来定义半群。许多用振荡积分来建构的初生函数，只能从分布意义上收敛（见下文的例子狄利克雷核），而不能从测度意义上收敛。

另一个例子是R1+1中的波动方程的柯西问题：

解代表了一条具有无限弹性的弦，一开始在原点处受到扰动后，距离平衡的位移程度。

其他同类的对单位元的近似还包括，广泛应用于电子和电信中的sinc函数

以及贝塞尔函数

要对线性偏微分方程

求解，其中是R上的一个微分算子，可以先取得基本解，即对以下方程求解：

当相对简单的时候，通常直接利用傅里叶变换就可以求解（如上文提到的泊松核和热核）。如果算子比较复杂，可以先考虑更简单的方程

其中是一个平面波函数，意思是对于某向量ξ，有

这样的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理求解（如果的系数是解析函数），或者用求积法求解（如果的系数是常数）。所以，如果函数能够分解成平面波的话，理论上就能取得线性偏微分方程的解。

对函数进行平面波分解的方法，最早是约翰·拉东（Johann Radon）所发展的一套通用技巧之一，之后由弗瑞兹·约翰进一步发展至这种形式（1955）。选择，使得 + 是一个偶整数；对于实数，定义

要取得，对( · )相对球体测度dω积分，再对积分施用拉普拉斯算子的幂，其中属于单位球面−1：

此处的拉普拉斯算子理解为弱导数，所以上式的意思是，对于任何测试函数，

这一结果来自牛顿位势公式（牛顿位势是泊松方程的基本解）。这实际上是拉东变换的逆转公式，因为它能够从()在超曲面上的积分取回()的值。例如，若是奇数，而 = 1，则右边的积分等于

其中(, )是的拉东变换：

平面波分解的另一个等价表达式是（Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10 harvnb error: no target: CITEREFGelfandShilov1966–1968 (help)）

对于偶数，且

对于奇数。

在对傅里叶级数的研究当中，一个重要的问题是须要判断，和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数，以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数的傅里叶级数的第部分和，定义是与狄利克雷核在区间上的卷积：

因此

其中

傅里叶级数的一个基础结果说明，当 → ∞，狄利克雷核趋向于函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛，即

对于一切紧支撑光滑函数。从而，在区间上有

尽管如此，但这并不对所有紧支撑连续函数成立，换言之，从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛，因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核

费耶核从一种更强的意义向函数收敛：

对于一切紧支撑连续函数。结果是，所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的，且和的值等于该函数的值。

狄拉克分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间L2上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在2中是一个稠密集，且分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中，可以对2的某个子空间赋予更强的拓扑，使得函数能够定义一个有界线性算子。

索伯列夫嵌入定理应用在实数线R上的索伯列夫空间上时，意味着任何平方可积函数，只要满足

就必定是连续的，而且满足

从而是一个在索伯列夫空间1上的有界线性泛函。另一个等价的说法是，是1的连续对偶空间−1的元素。更一般地说，在维中，有 ∈ −(R)，条件是 > / 2。

在复分析中，函数出现在柯西积分公式中，公式说明，若是复平面上一个具有光滑边缘的域，则

对于一切在的闭包内连续的全纯函数。从而，对于此类全纯函数，函数可以以柯西积分表示：

更一般地来说，设2(∂)是一个哈代空间，它是所有在中直到的边缘都是连续的全纯函数，在2(∂)中的凸包。2(∂)中的函数可以唯一地延续成上的全纯函数，而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于 ∈ ，函数是一个2(∂)上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况：对于光滑域，Szegő核代替了柯西积分的角色。

在可分希尔伯特空间中，给定一个由函数{}组成的标准正交基（如一个紧自伴算子的归一化特征向量），那么任何向量都可以表达成：

系数{α_n}可以如下得出：

也可以写为

这是狄拉克符号的一种。在这种写法下，以并矢方式展开：

设是该希尔伯特空间上的恒等算子，则表达式

称为单位分解。当希尔伯特空间是2()，包含所有在域上的平方可积函数，那么

就是一个积分算子，而可以重新表达为：

右边的级数是在2当中向收敛。就算是连续函数，点收敛极限也不一定存在。尽管如此，往往可以滥用符号，写

如此来表示函数：

在适当的装备希尔伯特空间（英语：Rigged Hilbert space）(Φ, 2(), Φ*)中，其中Φ ⊂ 2()包含所有紧支撑光滑函数，视乎基的性质，上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下，标准正交基来自于某个积分或微分算子，这时候级数会从分布的意义上收敛。

1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时，用到了一个无限小数，使得函数满足

${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0).}$ 函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达，详见Yamashita (2007)论文所列出的相关书目。这样定义的函数是真正意义上的函数，使得对于每个实函数，都有

${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0),}$ 函数的无限和，和的极限是分布意义上的极限：

这可以理解为，在每个整数处都有一个单位质点。

狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换（或乘以某个归一常数）。其重要性在于，若是速降函数，则在周期化后的结果以以下卷积表示：

特别有，

这正是泊松求和公式。

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理，它把函数和分布p.v.1/联系起来，后者是函数1/的柯西主值，定义是

索霍茨基公式说明，

此处的极限是分布意义上的极限，就是说对于一切紧支撑光滑函数，

克罗内克函数的定义是，

对于所有整数、。它满足以下的筛选性质：若 ${displaystyle (a_{i})_{iin mathbf {Z} }}$ 函数的筛选性质十分相似：对于任何R上的实函数或复函数，有

也就是说，克罗内克函数可以看作是与狄拉克函数对应的离散函数。

在概率论和统计学中，狄拉克函数往往以概率密度函数的身份，来代表一个离散分布或部分离散、部分连续的分布（概率密度函数一般只用作描述完全连续分布）。例如，设一组点x = {₁, ..., }，对应概率为₁, ..., ；由这些点所组成的离散分布的概率密度函数可以写作

又举一例，设一个分布，其中十分之六的情况下输出标准正态分布，而十分之四的情况下输出单个数值3.5，这是一个部分连续、部分离散的混合分布。其密度函数是

也可以以完全不同的方法，用函数表示扩散过程（如布朗运动）中的局部时（英语：Local time (mathematics)）。一个随机过程的局部时的表达式为

这代表了该过程在某特定区间内，在点所花的时间。更准确地说，当只有一个维度时，上面的积分可以写成

其中1是区间的指示函数。

以下举一个例子，展示函数如何在量子力学中派上用场。一个粒子的波函数所给出的，是粒子出现在特定空间范围内的概率幅。波函数假定属于希尔伯特空间2（平方可积函数空间），且粒子在某空间范围内出现的总概率，等于波函数的绝对值平方在该范围内的积分。一组波函数{}叫做标准正交，如果

其中指的是克罗内克函数，而不是狄拉克函数。一组标准正交波函数叫做在平方可积函数空间中完备，如果任何波函数都可以表达为一些的线性组合：

其中 ${displaystyle c_{n}=langle varphi _{n}|psi rangle }$ () = ()。位置（在一维当中）的光谱是整条实数线，所以称作连续光谱。不过，和哈密顿算符不同的是，位置算符并没有正式的本征函数。为了解决这一困局，通常会扩大所允许使用的函数，从普通的函数到所有分布。换言之，量子力学的希尔伯特空间要由合适的装备希尔伯特空间（英语：Rigged Hilbert space）取代。这样一来，位置算符就有了一套完备的本征分布，对应于实数线上的每个点：

位置的本征函数（分布）用狄拉克符号记作 ${displaystyle varphi _{y}=|yrangle }$ ，前提是具有连续光谱，且不存在退化特征值。更确切地说，有一个实数的子集Ω（即算子的光谱）和一组分布，对应于Ω的每个元素，使得

也就是说，是的特征向量（本征分布）。如果这些特征向量（作为分布）都满足归一化条件：

那么对于一切测试函数ψ，就有

其中

此处所得出的单位分解和离散的情况比较，有相似之处：

其中以算子为值的积分同样理解为弱积分。若的光谱同时含有连续和离散部分，则它的单位分解须包含跑遍所有离散态的和，再加上跑遍所有连续态的积分。

函数在量子力学中还有众多特殊应用，例如位势阱。

在结构力学中，函数可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在=0时突然受到冲量为的力的冲击，其演变可以如下描述：

其中是质量，ξ是挠度，而是弹簧常数。

根据欧拉﹣伯努力理论，一条细长的梁的静力负荷挠度是

其中是梁的弯曲刚度，是挠度，是空间坐标，而()则是负荷分布。如果栋梁在 = ₀处受到点力的负荷，那么负荷分布可以写作

由于函数的积分是亥维赛阶跃函数，因此细长栋梁在多个点受到点力负荷时的静力负荷挠度，可以用一组分段多项式来表示。

函数还可以描述作用在一条梁上的点弯矩（英语：Bending moment）。设两个相距的相反方向的点力，它们在栋梁上所产生的弯矩为 = 。在保持不变的情况下，使趋向于零。假设所产生的弯矩位于 = 0，方向是顺时针，那么对栋梁的负荷分布就是

因此点弯矩可以用函数的导数来描述。对栋梁方程积分，得出的挠度一样是分段多项式。