四元群

✍ dations ◷ 2025-07-06 03:27:19 #群论,有限群,四元数,四

在群论里，四元群是指一个8目的不可换群。它常被标示为，且被写成乘法的形式，以下列的8个元素

这里，1是单位元素，(−1)2 = 1且对每个内的，(−1) = (−1) = −。剩下的乘法律能由下列的关系获得：

的凯莱表如下：

需注意的是，此一群为非可换的；如=−。有着汉弥尔顿群较不常见的性质：每一个的子群都是其正规子群，但这个群不是可换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个。

在抽象代数里，可以造出一个其基底为{1,,,}的实四维向量空间，且使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数。其即为一个称为的除环。需注意的是，这并不是在上的群代数(其应该是8维的)。相反地，亦可以先由四元数开始，再“定义”出由八个元素{1, −1, , −, , −, , −}所组成之乘法子群做为四元群。

、和都是内4目的元素且选定其中任两个都可以产生出整个群来。有着下列的展现

其中可以取成=、=及=。

的中心及交换子群为{±1}。其商群 /{±1}会同构于克莱因四元群。的内自同构群会同构于同余其中心，且因此也会同构于克莱因四元群。的全自同构群会同构于对称群₄。的外自同构群因此为₄/，其会同构于₃。

四元群亦可视为是作用于在有限体GF(3)上之二维向量空间的八个非零元素。关于其图像，请见图像化GL(2,p) 页面存档备份，存于互联网档案馆。

一个群若被称为广义四元群，则表示其有一个展现

其中为大于3的整数。此一群的目为2。原本的四元群为=3时的特例。广义四元群可以被理解为单位四元数的子群，其产生子为

广义四元群是双循环群此一更大类型的一类。广义四元群有着每个可换子群都是循环的性质。可证明一具有此性质(每个可换子群都是循环的)之有限p-群若不是循环群就是广义四元群。

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