有限深方形阱

在量子力学里，有限深方形阱，又称为有限深位势阱，是无限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一个阱内位势为0，阱外位势为有限值的位势阱。关于一个或多个粒子，在这种位势作用中的量子行为的问题，称为有限深位势阱问题。与无限深方形阱问题不同的是，在阱外找到粒子的概率大于0。

在经典力学里，假若，粒子的能量小于阱壁的位势，则粒子只能移动于阱内，无法存在于阱外。截然不同地，在量子力学里，虽然粒子的能量小于阱壁的位势，在阱外找到粒子的概率大于0。

一维有限深方形阱的阱宽为${\displaystyle L}$，左边阱壁与右边阱壁的位置分别为${\displaystyle x=-<!--\; -\; -->L/2}$与${\displaystyle x=L/2}$。阱内位势为0。在阱壁，位势突然升高为${\displaystyle V_0}$。阱外位势保持为${\displaystyle V_0}$。这一维阱将整个一维空间分为三个区域：阱左边，阱内，与阱右边。在每一个区域内，对应着不同的位势，描述粒子的量子行为的波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$也不同，标记为：:78-82

这些波函数，都必须满足，一维不含时间的薛定谔方程：

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$是粒子质量，${\displaystyle x}$是粒子位置，${\displaystyle V(x)}$是位势，${\displaystyle E}$是能量。

在阱内，位势${\displaystyle V(x)=0}$，方程简化为：

设定波数${\displaystyle k}$为

代入方程(2)：

这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2(x)}$是正弦函数与余弦函数的线性组合：

其中，${\displaystyle A}$与${\displaystyle B}$都是复值常数，由边界条件而决定。

在阱外，位势${\displaystyle V(x)=V_0>0}$，薛定谔方程为：

视能量是否大于位势而定，有两种不同的解答。一种是自由粒子解答，另一种是束缚粒子解答。

假若，粒子的能量小于位势：，则这粒子束缚于位势阱内．称这粒子的量子态为束缚态（bound state）。设定

代入方程(1)：

一般解是指数函数。所以，阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是

其中，${\displaystyle F}$，${\displaystyle G}$，${\displaystyle H}$，${\displaystyle I}$都是常数。

从正确的边界条件，可以找到常数${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$，${\displaystyle F}$，${\displaystyle G}$，${\displaystyle H}$，${\displaystyle I}$的值。

薛定谔方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的边界条件。

总结前面导引出的结果，波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的形式为：

当${\displaystyle x}$趋向负无穷，包含${\displaystyle F}$的项目趋向无穷。类似地，当${\displaystyle x}$趋向无穷，包含${\displaystyle I}$的项目趋向无穷。可是，波函数在任何${\displaystyle x}$都必须是有限值。因此，必须设定${\displaystyle F=I=0}$。阱外区域的波函数变为

在阱左边，随着${\displaystyle x}$越小，波函数${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1(x)}$呈指数递减。而在阱右边，随着${\displaystyle x}$越大，波函数${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_3(x)}$呈指数递减。这是合理的。这样，波函数才能够归一化。

由于有限深方形阱对称于${\displaystyle x=0}$，可以利用这对称性来省略计算步骤。波函数不是奇函数就是偶函数。

假若，波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是奇函数，则

由于整个波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导数值都必须相配：

将波函数的公式代入：

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

从方程(3)与(4)，可以求得常数${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$与波数${\displaystyle k}$的关系：

所以，波数是离散的，必须遵守以下方程：

这也造成了离散的能量。

假若，波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是偶函数，则

由于整个波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导数值都必须相配：

将波函数的公式代入：

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

从方程(3)与(4)，可以求得常数${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$与波数${\displaystyle k}$的关系：

所以，波数是离散的，必须遵守以下方程：

这也造成了离散的能量。

假若，一个粒子的能量大于位势，${\displaystyle E>V_0}$，则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此，在这里，粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射（scattering）行为。称这粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；而在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势，${\displaystyle E>V_0}$，不会被束缚于位势阱内，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于${\displaystyle V_0}$的任意值。波数${\displaystyle \mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}$，用方程表达为${\displaystyle \mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\frac{\sqrt{2m(E-<!--\; -\; -->V_0)}}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}}$，也不是离散量。代入方程(1)：

解答形式与阱内区域的解答形式相同：

其中，${\displaystyle C_1}$、${\displaystyle D_1}$、${\displaystyle C_3}$、${\displaystyle D_3}$，都是常数。