德拜函数

德拜函数（Debye function）是彼得·德拜于1912年估算声子对固体的比热的德拜模型时创立的函数，定义如下

。

其中${\displaystyle B_{2k}}$是伯努利数。

${\displaystyle D_n(x)=\frac{n\ast <!--\; \ast \; -->((-<!--\; -\; -->1{)}^n\ast <!--\; \ast \; -->n!\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(n+1)+\underset{m=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}((-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->m+1}\ast <!--\; \ast \; -->n!\ast <!--\; \ast \; -->x^m\ast <!--\; \ast \; -->L{i}_{n-<!--\; -\; -->m+1}(e^x/m!))}{x^{n+1}}-<!--\; -\; -->\frac{n}{n+1}}$

其中${\displaystyle L{i}_m(x)}$是m阶多重对数

For ${\displaystyle x\to <!--\; \to \; -->0}$ :

For ${\displaystyle x\ll <!--\; \ll \; -->1}$ : ${\displaystyle D_n}$:${\displaystyle D_n(x)\propto <!--\; \propto \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{d}t\frac{t^n}{\exp <!--\; \; -->(t)-<!--\; -\; -->1}=\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+1)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(n+1).}$

也有将德拜函数定义为

${\displaystyle d_n(z)={\int <!--\; \int \; -->}_0^x\frac{t^n}{e^t-<!--\; -\; -->1}dt}$${\displaystyle =n!\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(n+1)-<!--\; -\; -->\frac{x^{n+1}}{n+1}+\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}((-<!--\; -\; -->1{)}^{k+1}\ast <!--\; \ast \; -->(\underset{j=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}((n-<!--\; -\; -->j)\ast <!--\; \ast \; -->x^{n-<!--\; -\; -->k}\ast <!--\; \ast \; -->L{i}_{k+1}(exp(x)))))}$