莫尔圆

✍ dations ◷ 2025-08-06 11:19:13 #经典力学,材料科学,固体力学

莫尔圆（Mohr's circle）得名自德国土木工程师克里斯汀·奥图·莫尔（英语：Christian Otto Mohr），是一种用二维方式表示柯西应力张量转换关系的图。

先针对假设为连续的物体进行应力分析（英语：Stress–strain analysis），之后特定一点的柯西应力张量分量会和坐标系有关。莫尔圆是用图形的方法去确认一个旋转坐标系上的应力分量，也就是在同一点上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圆上每一个点的横坐标 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 及纵坐标 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 都是在这个旋转坐标系统上某一个方向的正应力及剪应力。换句话说，莫尔圆表示了在所有方向平面上应力状态的轨迹，而X轴和Y轴为应力元素的主轴。

卡尔·卡尔曼（英语：Karl Culmann）是第一个想到用图形来表示应力的人，他是在分析水平梁承受弯曲时的纵向应力及垂直应力时所想到的。莫尔的贡献不止是用莫尔圆表示二维及三维的应力，他也根据莫尔圆发展了结构失效判定的准则。

其他表示应力状态的方式有拉梅应力椭球（英语：Lame's stress ellipsoid）及柯西应力二次曲线（Cauchy's stress quadric）。

莫尔圆可以扩展到对称的 2x2 张量，包括应变及转动惯量张量。

考虑一个会变形的物体（假设为连续体），若受到外力（可能是表面力或是物体力（英语：Body force）），物体的内部就会有力的分布。物体内部的力会依循欧拉运动定律，正如物体受力依循牛顿运动定律一様。物体内部力的强度可以用应力来表示。因为物体假设为连续体，其内部的力也是会均匀分布在其体积中。

在工程中（例如结构工程、机械工程或土力工程）会透过应力分析（英语：Stress–strain_analysis）来分析一物体中应力的的分布，例如隧道中岩石的应力，飞机机翼的应力，或是建筑物中梁柱的应力等。计算应力分布也就表示要知道物体中每一点的应力。据奥古斯丁·路易·柯西的理论，（假设为连续体的）物体中任何一点的应力（图2），可以完全由二阶(2,0)型（英语：type of a tensor）的张量中的九个应力元素 $\sigma _{ij}$ $\sigma_{ij}$ 完全决定，此二阶张量称为柯西应力张量, ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ :

若确定了一物体在特定坐标系统 $(x,y)$ $(x,y)$ 下的应力分布，有可能需要知道特定一点 $P {\displaystyle P}$ $P$ 相对另一个有旋转的坐标系统 $(x',y')$ $(x',y')$ 下的应力张量，也就是在需要关注的点，在特定角度下的的应力张量。而此坐标系统 $(x',y')$ $(x',y')$ 和原有的坐标系统 $(x,y)$ $(x,y)$ 之间有一个角度差（图3）。例如，一般会需要知道最大的正向应力以及最大的剪应力，也需要知道其对应的方向。因此，需要发展一种张量转换的方式，可以配合坐标系统的旋转得到新坐标系统的张量。依照张量的定义，柯西应力张量遵守张量转换定律。应力的莫尔圆是用图解方式来说明柯西应力张量转换定律的方式。

在二维下，一点 $P {\displaystyle P}$ $P$ 相对于垂直方向的应力张量可以用三个应力向量完全表示。在垂直坐标系统 $(x,y)$ $(x,y)$ 下，其应力分量为：法向应力 $\sigma _{x}$ $\sigma _{x}$ 及 $\sigma _{y}$ $\sigma _{y}$ ，以及剪应力 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ 。由于角动量守恒，柯西应力张量会有对称性，也就是 $\tau _{xy}=\tau _{yx}$ $\tau _{xy}=\tau _{yx}$ ，因此柯西应力张量可以写成：

其目的是在另一个通过 $P {\displaystyle P}$ $P$ 点，但存在角度差的坐标系统 $(x',y')$ $(x',y')$ 下，找到应力分量 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 及 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ （图4）。坐标系统 $(x',y')$ $(x',y')$ 和原坐标系统 $(x,y)$ $(x,y)$ 的角度差即为 $\theta$ $\theta$ 。

要推导二维平面应力及平面应变的莫尔圆方程，先考虑一个位在位置 $P {\displaystyle P}$ $P$ 的二维的无限小方形元素（图4），和 $y {\displaystyle y}$ $y$ - $z {\displaystyle z}$ $z$ 平面平行。

利用无限小元素上的力平衡，正向应力 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 及剪应力 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 的大小为：

再考虑以下的关系

可以得到

再考虑 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 方向（ $y^{'} {\displaystyle y'}$ $y'$ 轴）的力平衡（图4），再假设 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 作用的面积是 $d A {\displaystyle dA}$ $dA$ ，可得：

再考虑以下的关系

可以得到

上述二个方程也可以用柯西应力张量的张量变换定律来求得，这和在 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 及 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 方向用力平衡计算是等效的。

将等号右侧展开，再配合 $\sigma _{x'}=\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{x'}=\sigma _{\mathrm {n} }$ 及 $\tau _{x'y'}=\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{x'y'}=\tau _{\mathrm {n} }$ ，可得：

再加上以下的条件

可得

$\tau _{\mathrm {n} }=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)$ $\tau _{\mathrm {n} }=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)$

再加上以下的条件

可得

此时不需要计算 $\sigma _{x'}$ $\sigma _{x'}$ 垂直的应力成分 $\sigma _{y'}$ $\sigma _{y'}$ ，因为在推导莫尔圆时还不需要此成分

这二个方程是莫尔圆的参数式。在方程中， $2\theta$ $2\theta$ 为参数，而 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 和 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 为坐标，因此表示若选择适当的坐标系统，使 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 为横轴， $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 纵轴，给定参数 $\theta$ $\theta$ ，会给定在莫尔圆上的一点。

若从参数式中消去参数 $2\theta$ $2\theta$ ，可以得到非参数式的莫尔圆方程。可以用重组 $\sigma _{\mathrm {n} }$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ 及 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 的方程来达到。先将第一式等号右侧的第一项移到等号左边，二式平方后相加，可得

其中

这就是圆（莫尔圆）的方程

在 $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ 坐标系统中，其半径 $r=R$ $r=R$ ，圆心在坐标 $(a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)$ $(a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)$ 处。

在使用莫尔圆时，需考虑两组分别的符号体系，一个是针对实体空间下应力分量的符号体系，另一个是针对“莫尔圆空间”下应力分量的符号体系。此外，工程力学（结构工程及机械工程）文献用的体系和地质力学（英语：geomechanics）用的符号体系不同。没有所有系统都适用的标准符号体系，是否要使用特定的符号体系取决于计算及诠释特定问题的方便程度。

上述图4的莫尔圆推导都是使用工程力学的符号体系，以下也会继续使用工程力学的符号体系。

为了描述柯西应力张量的方便（图3及图4），应力分量的第一个下标表示应力分量作用的面，第二个下标表示应力分量的方向。因此 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ 是作用在以 $x {\displaystyle x}$ $x$ 轴正向为其法向量的平面上，而方向是往 $y {\displaystyle y}$ $y$ 轴的正方向。

在实体空间符号体系，正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）（图5）。

在实体空间符号体系中，正剪应力在法向量为正的材料元素平面上，其作用方向会往轴的正方向，同样的，正剪力在法向量为负的材料元素平面上，其作用方向会往轴的负方向。例如作用在正向平面的剪应力 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ 和 $\tau _{yx}$ $\tau _{yx}$ 为正，因为这二个剪应力的作用方向往 $y {\displaystyle y}$ $y$ 轴及 $x {\displaystyle x}$ $x$ 轴的正方向（图3）。而相对应的作用在负向平面的剪应力 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ 和 $\tau _{yx}$ $\tau _{yx}$ ，其作用方向往 $y {\displaystyle y}$ $y$ 轴及 $x {\displaystyle x}$ $x$ 轴的负方向，因此这二个剪应力也为正。

在莫尔圆空间符号体系中，应力的符号体系和实体空间符号体系中的相同：正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）

不过剪应力的符号体系和实体空间符号体系中的不同。在莫尔圆空间符号体系中，正的剪应力会使材料往逆时针方向旋转，而负的正的剪应力会使材料往顺时针方向旋转。因此在莫尔圆空间中，剪应力分量 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ 为正，而 $\tau _{yx}$ $\tau _{yx}$ 为负。这和实体空间符号体系中 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ 和 $\tau _{yx}$ $\tau _{yx}$ 符号相同的情形不同。

在绘制莫尔圆时，有二个作法可以绘制在数学上正确的莫尔圆：

将正的剪应力画在上方会让莫尔圆上的 $2\theta$ $2\theta$ 角为正值时，旋转方向是顺时针旋转，这和实体空间符号体系中的相反。因此有些作者会选择让正的剪应力画在下方，这会让莫尔圆上的 $2\theta$ $2\theta$ 角为正值时，旋转方向是逆时针旋转，类似实体空间符号体系的情形。

为了克服剪应力轴往下才是正向的问题，有另外一种“替代的”符号体系，其中正的剪应力假设为将材料将顺时针方向旋转，而负的剪应力假设为将材料将逆时针方向旋转（图5，符号体系#3）。在“替代”体系下，正的剪应力轴往上，而且在莫尔圆上 $2\theta$ $2\theta$ 为正值时，旋转方向为逆时针。此符号体系产生的莫尔圆和图5，符号体系#2中的相同，因为正的剪应力 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 也是会逆时针旋转的剪应力，也画在下方。而负的剪应力 $\tau _{\mathrm {n} }$ $\tau _{\mathrm {n} }$ 也是会顺时针旋转的剪应力，也画在上方。

此条目在实体空间符号体系中，会依照工程力学的符号体系，而在莫尔圆空间中，会使用“替代的”符号体系（图5，符号体系#3）。

假设已知待研究物体上的点 $P {\displaystyle P}$ $P$ 的应力分量 $\sigma _{x}$ $\sigma _{x}$ 、 $\sigma _{y}$ $\sigma _{y}$ 及 $\tau _{xy}$ $\tau _{xy}$ ，如图4所示。以下方法可以绘制点 $P {\displaystyle P}$ $P$ 的莫尔圆，以表示其应力状态。

主要应力的大小是点 $C {\displaystyle C}$ $C$ 和点 $E {\displaystyle E}$ $E$ （图6中圆和

莫尔圆

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