首页 >
复变函数
✍ dations ◷ 2025-07-11 14:43:31 #复变函数
复分析是研究复变函数,特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛,在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。复变函数,是自变量和应变量皆为复数的函数。更确切的说,复变函数的值域与定义域都是复平面的子集。在复变分析中,自变量又称为函数的“宗量”。对于复变函数,自变量和应变量可分成实部和虚部:用另一句话说,就是函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
的成分,可以理解成变量
x
{displaystyle x}
和
y
{displaystyle y}
的二元实函数。全纯函数(holomorphic function)是定义在复平面
C
{displaystyle C}
的开子集上的,在复平面
C
{displaystyle C}
中取值的,在每点上皆可微的函数。复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程:和通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。柯西积分定理指出,如果全纯函数的封闭积分路径没有包括奇点,那么其积分值为0;如果包含奇点,则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。假设
U
{displaystyle U}
是复平面
C
{displaystyle C}
的一个开子集,
f
:
U
→
C
{displaystyle f:Urightarrow C}
是一个在闭圆盘
D
{displaystyle D}
上复可微的方程,并且闭圆盘
D
=
{
z
:
|
z
−
z
0
|
≤
r
}
{displaystyle D=left{z:leftvert z-z_{0}rightvert leq rright}}
是
U
{displaystyle U}
的子集。 设
C
{displaystyle C}
为
D
{displaystyle D}
的边界。则可以推得每个在
D
{displaystyle D}
内部的点
a
{displaystyle a}
:其中的积分为逆时针方向沿着
C
{displaystyle C}
的积分。在复变分析中,一个复平面的开子集
D
{displaystyle D}
上的亚纯函数是一个在
D
{displaystyle D}
上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数,那些孤立点称为该函数的极点。复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如:每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示:特别地,全纯函数都是无限次可微的,性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数(多项式、指数函数、三角函数)都是全纯函数。常用的方法有泰勒级数展开等。复变函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。对于复变函数的孤立奇点,有如下三类。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果存在无穷个负幂项,那么这个点称为“本质奇点”。对复平面
C
{displaystyle C}
上的给定的开子集
U
{displaystyle U}
,以及
U
{displaystyle U}
中的一点
a
{displaystyle a}
,亚纯函数
f
:
U
∖
{
a
}
→
C
{displaystyle f:Usetminus left{aright}rightarrow C}
在
a
{displaystyle a}
处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果存在有限个负幂项,那么这个点称为“极点”。亚纯函数的极点是一种特殊的奇点,它的表现如同
z
−
a
=
0
{displaystyle z-a=0}
时
1
(
z
−
a
)
n
{displaystyle {frac {1}{left(z-aright)^{n}}}}
的奇点。这就是说,如果当
z
{displaystyle z}
趋于
a
{displaystyle a}
时,函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
趋于无穷大,那么
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
在
z
=
a
{displaystyle z=a}
处便具有极点。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果没有负幂项,那么这个点称为“可去奇点”。如果
U
{displaystyle U}
是复平面
C
{displaystyle C}
的一个开集,
a
{displaystyle a}
是
U
{displaystyle U}
中一点,
f
:
U
−
{
a
}
→
C
{displaystyle f:U-left{aright}rightarrow C}
是一个全纯函数,如果存在一个在
U
−
{
a
}
{displaystyle U-left{aright}}
与
f
{displaystyle f}
相等的全纯函数
g
:
U
→
C
{displaystyle g:Urightarrow C}
,则
a
{displaystyle a}
称为
f
{displaystyle f}
的一个可去奇点。如果这样的
g
{displaystyle g}
存在,我们说
f
{displaystyle f}
在
a
{displaystyle a}
是可全纯延拓的。在复分析中,留数是一个复数,描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。亚纯函数
f
{displaystyle f}
在孤立奇点
a
{displaystyle a}
的留数,通常记为
R
e
s
(
f
,
a
)
{displaystyle Res(f,a)}
,是使在圆盘
0
<
|
z
−
a
|
<
δ
{displaystyle 0<|z-a|<delta }
内具有解析原函数的唯一值
R
{displaystyle R}在复分析中,留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具,也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。假设U是复平面上的一个单连通开子集,a1、……、an是复平面上有限个点,f是定义在U {a1、……、an}的全纯函数。如果γ是一条把a1、……、an包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个ak,并且其起点与终点重合,那么:一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数,然后利用留数定理来进行计算。
相关
- 法医病理学人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学法医病理学(英语:forensic pathology),病
- 出生体重出生体重指婴儿在诞生之时的身体重量。具有欧洲血统婴儿的平均出生体重是3.5千克(7.7英磅),而正常的范围则为2.5至5千克(5.5至11.0英磅)。南亚和中国血统的婴儿与欧洲婴儿的出生
- 基督教恶魔学中的性在苏美尔、巴比伦人、亚述人与犹太人的信仰中,恶魔有男女性别之分。犹太人的恶魔大多是男性,不过也有如莉莉丝般的女性恶魔存在。在基督教恶魔学和神学中恶魔的性别与性倾向存
- 润肤膏润肤膏,是一种日用品,功能是润肤及护肤。润肤膏由天然物料或者石油等化学物料合成。在商品市场上定位为化妆品或药品。润肤膏在冬日令皮肤避免干燥损伤。润肤膏保持皮肤湿润,可
- γ-羟基丁酸γ-羟基丁酸,又称4-羟基丁酸,(gamma-Hydroxybutyric acid,GHB),是一种在中枢神经系统中发现的天然物质,亦存在于葡萄酒、牛肉、柑橘属水果中,也少量存在于几乎所有动物体内。它也是
- 熟铁熟铁是含碳量小于0.02%的铁合金碳钢,又称锻铁、纯铁(含碳量在0.02-2.0%称为钢,含碳量在2.0-4.3%则称生铁)。熟铁由铁矿石用碳直接还原,或由生铁经过熔化并将杂质氧化而得到的产物;前
- 迪凯特县迪凯特县(Decatur County, Georgia)是美国佐治亚州西南角的一个县,南邻佛罗里达州。面积1,614平方公里。根据美国2000年人口普查,共有人口28,240人。县治班布里奇 (Bainbridge)
- 尿常规尿液分析,又称为尿常规,是针对尿液标本所进行的一组医学检验项目,是医学诊断过程中最为常用的方法之一。尿液分析是历史最为悠久的医学检验方法之一,可以反映肾脏和泌尿道等方面
- 免疫手术免疫手术(Immunosurgery)是一种移除一个物体外层细胞的方法。在免疫手术中,材料先放置于能与特定抗原(外层细胞)结合的抗体溶液中,之后,除去未结合的抗体,再加入补体,可诱发细胞溶解,
- 油灯油灯是照明用具,依靠燃烧液体脂肪来发光。由三部分组成:盛油容器、油和导油的灯芯。容器一般为金属或陶瓷等耐热材料制作,形状很多,最简单的是用小钵加上油和捻子制成的灯盏(英语