首页 >
复变函数
✍ dations ◷ 2025-07-04 03:00:05 #复变函数
复分析是研究复变函数,特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛,在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。复变函数,是自变量和应变量皆为复数的函数。更确切的说,复变函数的值域与定义域都是复平面的子集。在复变分析中,自变量又称为函数的“宗量”。对于复变函数,自变量和应变量可分成实部和虚部:用另一句话说,就是函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
的成分,可以理解成变量
x
{displaystyle x}
和
y
{displaystyle y}
的二元实函数。全纯函数(holomorphic function)是定义在复平面
C
{displaystyle C}
的开子集上的,在复平面
C
{displaystyle C}
中取值的,在每点上皆可微的函数。复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程:和通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。柯西积分定理指出,如果全纯函数的封闭积分路径没有包括奇点,那么其积分值为0;如果包含奇点,则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。假设
U
{displaystyle U}
是复平面
C
{displaystyle C}
的一个开子集,
f
:
U
→
C
{displaystyle f:Urightarrow C}
是一个在闭圆盘
D
{displaystyle D}
上复可微的方程,并且闭圆盘
D
=
{
z
:
|
z
−
z
0
|
≤
r
}
{displaystyle D=left{z:leftvert z-z_{0}rightvert leq rright}}
是
U
{displaystyle U}
的子集。 设
C
{displaystyle C}
为
D
{displaystyle D}
的边界。则可以推得每个在
D
{displaystyle D}
内部的点
a
{displaystyle a}
:其中的积分为逆时针方向沿着
C
{displaystyle C}
的积分。在复变分析中,一个复平面的开子集
D
{displaystyle D}
上的亚纯函数是一个在
D
{displaystyle D}
上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数,那些孤立点称为该函数的极点。复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如:每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示:特别地,全纯函数都是无限次可微的,性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数(多项式、指数函数、三角函数)都是全纯函数。常用的方法有泰勒级数展开等。复变函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。对于复变函数的孤立奇点,有如下三类。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果存在无穷个负幂项,那么这个点称为“本质奇点”。对复平面
C
{displaystyle C}
上的给定的开子集
U
{displaystyle U}
,以及
U
{displaystyle U}
中的一点
a
{displaystyle a}
,亚纯函数
f
:
U
∖
{
a
}
→
C
{displaystyle f:Usetminus left{aright}rightarrow C}
在
a
{displaystyle a}
处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果存在有限个负幂项,那么这个点称为“极点”。亚纯函数的极点是一种特殊的奇点,它的表现如同
z
−
a
=
0
{displaystyle z-a=0}
时
1
(
z
−
a
)
n
{displaystyle {frac {1}{left(z-aright)^{n}}}}
的奇点。这就是说,如果当
z
{displaystyle z}
趋于
a
{displaystyle a}
时,函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
趋于无穷大,那么
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
在
z
=
a
{displaystyle z=a}
处便具有极点。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果没有负幂项,那么这个点称为“可去奇点”。如果
U
{displaystyle U}
是复平面
C
{displaystyle C}
的一个开集,
a
{displaystyle a}
是
U
{displaystyle U}
中一点,
f
:
U
−
{
a
}
→
C
{displaystyle f:U-left{aright}rightarrow C}
是一个全纯函数,如果存在一个在
U
−
{
a
}
{displaystyle U-left{aright}}
与
f
{displaystyle f}
相等的全纯函数
g
:
U
→
C
{displaystyle g:Urightarrow C}
,则
a
{displaystyle a}
称为
f
{displaystyle f}
的一个可去奇点。如果这样的
g
{displaystyle g}
存在,我们说
f
{displaystyle f}
在
a
{displaystyle a}
是可全纯延拓的。在复分析中,留数是一个复数,描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。亚纯函数
f
{displaystyle f}
在孤立奇点
a
{displaystyle a}
的留数,通常记为
R
e
s
(
f
,
a
)
{displaystyle Res(f,a)}
,是使在圆盘
0
<
|
z
−
a
|
<
δ
{displaystyle 0<|z-a|<delta }
内具有解析原函数的唯一值
R
{displaystyle R}在复分析中,留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具,也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。假设U是复平面上的一个单连通开子集,a1、……、an是复平面上有限个点,f是定义在U {a1、……、an}的全纯函数。如果γ是一条把a1、……、an包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个ak,并且其起点与终点重合,那么:一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数,然后利用留数定理来进行计算。
相关
- 蜱传脑炎蜱传脑炎疫苗(Tick-borne encephalitis vaccine)是用于预防蜱传脑炎(英语:tick-borne encephalitis)的疫苗。蜱传脑炎在中欧、东欧与北亚最为盛行。接种过疫苗的人里面有超过87%
- 计量经济学计量经济学(英语:Econometrics),又译经济计量学,是以数理经济学和数理统计学为方法论基础,对于经济问题试图对理论上的数量接近和经验(实证研究)上的数量接近这两者进行综合而产生的
- 乙醇脱氢酶醇脱氢酶(英语:Alcohol dehydrogenase,缩写ADH, EC 1.1.1.1),是一种以NAD+或NADP+为受体、作用于供体CH-OH基团上的氧化还原酶。这种酶能催化以下两种酶促反应:醇脱氢酶是一种锌蛋
- 邓斯·司各脱真福若望·董思高(Blessed John Duns Scotus,约1265年-1308年),史称邓斯·司各脱(也译作司各特),苏格兰中世纪时期的经院哲学家、神学家、唯实论者。他提出了物质具有思维能力的推测
- 魏国魏国,自名为
- 圣保罗学校世界上有多所学校名为圣保罗学校:圣保罗中学(伦敦)
- 理查德·多尔威廉·理查德·沙博·多尔爵士,CH, OBE, FRS(英语:Sir William Richard Shaboe Doll,1912年10月28日-2005年7月24日),英国科学家及流行病学家,与另一科学家奥斯汀·布拉德福德·希
- 台中市公共自行车租赁系统台中市公共自行车租赁系统(英文:iBike、iYouBike)是台湾台中市的公共自行车租赁系统,于2014年7月18日开始试营运。初期以台湾大道等市中心路段设站,现已将服务范围扩展至大里、太
- 军国主义军国主义(英语:Militarism),是一种对于保持强大军事力量的信仰,且具有侵略性的利用强大的军事力量获取其国家利益或推广其国家价值,并将保证军事力量视作为社会最重要目标的意识形
- 外燃机外燃机是利用燃料在器皿外燃烧加热循环工质,使热能转化为机械能的一种热机。例如蒸汽机将锅炉里的水加热产生的高温高压水蒸气输送到机器内部。