首页 >
复变函数
✍ dations ◷ 2025-04-25 13:01:38 #复变函数
复分析是研究复变函数,特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛,在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。复变函数,是自变量和应变量皆为复数的函数。更确切的说,复变函数的值域与定义域都是复平面的子集。在复变分析中,自变量又称为函数的“宗量”。对于复变函数,自变量和应变量可分成实部和虚部:用另一句话说,就是函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
的成分,可以理解成变量
x
{displaystyle x}
和
y
{displaystyle y}
的二元实函数。全纯函数(holomorphic function)是定义在复平面
C
{displaystyle C}
的开子集上的,在复平面
C
{displaystyle C}
中取值的,在每点上皆可微的函数。复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程:和通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。柯西积分定理指出,如果全纯函数的封闭积分路径没有包括奇点,那么其积分值为0;如果包含奇点,则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。假设
U
{displaystyle U}
是复平面
C
{displaystyle C}
的一个开子集,
f
:
U
→
C
{displaystyle f:Urightarrow C}
是一个在闭圆盘
D
{displaystyle D}
上复可微的方程,并且闭圆盘
D
=
{
z
:
|
z
−
z
0
|
≤
r
}
{displaystyle D=left{z:leftvert z-z_{0}rightvert leq rright}}
是
U
{displaystyle U}
的子集。 设
C
{displaystyle C}
为
D
{displaystyle D}
的边界。则可以推得每个在
D
{displaystyle D}
内部的点
a
{displaystyle a}
:其中的积分为逆时针方向沿着
C
{displaystyle C}
的积分。在复变分析中,一个复平面的开子集
D
{displaystyle D}
上的亚纯函数是一个在
D
{displaystyle D}
上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数,那些孤立点称为该函数的极点。复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如:每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示:特别地,全纯函数都是无限次可微的,性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数(多项式、指数函数、三角函数)都是全纯函数。常用的方法有泰勒级数展开等。复变函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。对于复变函数的孤立奇点,有如下三类。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果存在无穷个负幂项,那么这个点称为“本质奇点”。对复平面
C
{displaystyle C}
上的给定的开子集
U
{displaystyle U}
,以及
U
{displaystyle U}
中的一点
a
{displaystyle a}
,亚纯函数
f
:
U
∖
{
a
}
→
C
{displaystyle f:Usetminus left{aright}rightarrow C}
在
a
{displaystyle a}
处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果存在有限个负幂项,那么这个点称为“极点”。亚纯函数的极点是一种特殊的奇点,它的表现如同
z
−
a
=
0
{displaystyle z-a=0}
时
1
(
z
−
a
)
n
{displaystyle {frac {1}{left(z-aright)^{n}}}}
的奇点。这就是说,如果当
z
{displaystyle z}
趋于
a
{displaystyle a}
时,函数
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
趋于无穷大,那么
f
(
z
)
{displaystyle f(z)}
在
z
=
a
{displaystyle z=a}
处便具有极点。复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开,如果没有负幂项,那么这个点称为“可去奇点”。如果
U
{displaystyle U}
是复平面
C
{displaystyle C}
的一个开集,
a
{displaystyle a}
是
U
{displaystyle U}
中一点,
f
:
U
−
{
a
}
→
C
{displaystyle f:U-left{aright}rightarrow C}
是一个全纯函数,如果存在一个在
U
−
{
a
}
{displaystyle U-left{aright}}
与
f
{displaystyle f}
相等的全纯函数
g
:
U
→
C
{displaystyle g:Urightarrow C}
,则
a
{displaystyle a}
称为
f
{displaystyle f}
的一个可去奇点。如果这样的
g
{displaystyle g}
存在,我们说
f
{displaystyle f}
在
a
{displaystyle a}
是可全纯延拓的。在复分析中,留数是一个复数,描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。亚纯函数
f
{displaystyle f}
在孤立奇点
a
{displaystyle a}
的留数,通常记为
R
e
s
(
f
,
a
)
{displaystyle Res(f,a)}
,是使在圆盘
0
<
|
z
−
a
|
<
δ
{displaystyle 0<|z-a|<delta }
内具有解析原函数的唯一值
R
{displaystyle R}在复分析中,留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具,也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。假设U是复平面上的一个单连通开子集,a1、……、an是复平面上有限个点,f是定义在U {a1、……、an}的全纯函数。如果γ是一条把a1、……、an包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个ak,并且其起点与终点重合,那么:一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数,然后利用留数定理来进行计算。
相关
- 衰老人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学在生物学及医学上,老化是生理状态随时
- 食欲不振食欲不振(英语:Anorexia),也作食欲减退、食欲缺乏,民间常称“没胃口”,是指食欲降低的一种症状。虽然在许多非科研出版物中该词也可指代神经性厌食症,但是食欲不振的成因却多种多样
- 阿富汗战争阿富汗 北方联盟 北约ISAF 美国 英国 德国 法国 波兰 加拿大 澳大利亚 新西兰 瑞典 韩国 马来西亚 提供支援:2001年阿富汗战争是以美国为首的联军在2001年
- 剑桥大学出版社剑桥大学出版社(英语:Cambridge University Press)隶属于英国剑桥大学,成立于1534年,是世界上仅次于牛津大学出版社的第二大大学出版社。剑桥大学出版社为世上现存最古老的大学出
- 食物耐受不佳食物不耐症(food intolerances)是指因为食物、饮料、食品添加剂或是食物中成分产生的有害反应,一般会在食用食物之后一段时间才会出现,有害反应会在一个或多个器官或是系统出现,
- 游走鲸走鲸(学名:Ambulocetus natans),又名陆行鲸、游走鲸,陆行鲸科走鲸属的一种,是一种早期的鲸鱼,可以同时行走及游泳。走鲸是过渡化石,显示了鲸鱼如何从陆上的哺乳动物演化出来。走鲸的
- 兰氏结兰氏结(英语:Nodes of Ranvier)又名郎氏结,郎飞氏结。是神经元的一部分,以首位描述该结构的法国科学家兰维尔(Louis-Antoine Ranvier)为名。神经元的髓鞘包覆着轴突,兰氏结是神经元
- HgO氧化汞(氧化汞(II)) 是一种碱性氧化物,为无机物,化学式为HgO,俗称三仙丹,有红色和黄色两种变体。氧化汞用于制取其他汞化合物,也用作催化剂、颜料、抗菌剂及汞电池中的电极材料。红
- 硬焊硬焊(英语:brazing)是一种焊接方式,将熔点低于欲连接工件之熔填料(钎料)加热至高于熔点,使之具有足够的流动性,利用毛细作用充分填充于两工件间(称为浸润),并待其凝固后将二者接合起来
- 中的基督徒相信耶稣是弥赛亚(基督),并相信通过他的死和复活,人类可以与上帝和好,从而得到救恩和永生的承诺。这些教义强调,作为上帝悦纳的羔羊,耶稣选择在髑髅地的十字架上受难,以此作为