随机变量的收敛

概率论中有若干关于随机变量收敛（Convergence of random variables）的定义。研究一列随机变量是否会收敛到某个极限随机变量是概率论中的重要内容，在统计概率和随机过程中都有应用。在更广泛的数学领域中，随机变量的收敛被称为随机收敛，表示一系列本质上随机不可预测的事件所发生的模式可以在样本数量足够大的时候得到合理可靠的预测。各种不同的收敛定义实际上是表示预测时不同的刻画方式。

正如一个数列可能收敛到某个极限量，一列函数可能收敛到某个极限函数一样，随机收敛指的是一系列随机变量${\displaystyle \left(X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\right)}$趋向于无穷大时，会越来越接近某个固定的极限。这个极限可能是指：

等等。这些不同的极限的定义，可以严格地写成不同的收敛方式的定义。

依概率1收敛又称为几乎处处收敛，其定义接近于函数逐点收敛的定义。事实上，由于随机变量的本质是由样本空间${\displaystyle \mathit{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$, ) 的时候，依概率1收敛的意义是：

设${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$, )，那么依概率收敛的定义为：

依概率收敛和依概率1收敛的定义有相似之处，但本质上，依概率1收敛是比依概率收敛更“强”的收敛性质。如果一列随机变量依概率1收敛到某个极限，那么它必然也依概率收敛到这个极限，但反之则不然。一个实数上的例子是：设概率空间 ${\displaystyle \left(\mathit{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P}\right)}$趋于无穷大的时候，只要偏离极限函数的${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$不同而不同；而依概率1收敛则要求${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n}$的集合固定地缩减至一个概率为0的集合。因此，依概率1收敛要比依概率收敛更为严格。

另一种收敛的定义与测度的积分有关。在积分理论中，如果两个函数${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$满足${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{\mathcal{I}}(f-<!--\; -\; -->g{)}^{2}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0}$，那么这两个函数在关于测度${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$的平方可积空间中相等。随机变量的平方平均收敛与此相似：如果对平方可积的随机变量序列${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$，存在随机变量${\displaystyle X}$，使得${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathbb{E}=0}$，那么就说序列${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$ 平方平均收敛到${\displaystyle X}$，记作：

由于${\displaystyle {\mathbf{L}}^2}$空间是完备的，极限${\displaystyle X}$也一定平方可积。

对于更一般的${\displaystyle {\mathbf{L}}^p}$空间，也有类似的定义：如果对 ${\displaystyle {\mathbf{L}}^p}$空间中的随机变量序列${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$，存在${\displaystyle {\mathbf{L}}^p}$中的随机变量${\displaystyle X}$，使得${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathbb{E}=0}$，那么就说序列${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$依${\displaystyle {\mathbf{L}}^p}$收敛到${\displaystyle X}$，记作：

当常数${\displaystyle p=1}$时，也称为平均收敛。

依分布收敛是最宽松的收敛方式之一。这种收敛不要求查看每个${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$，只要求序列的分布趋向于某个极限。直觉上，一个随机变量序列${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$依分布收敛到某个随机变量${\displaystyle X}$，如果：

更严格的定义是探讨随机变量${\displaystyle X_n}$的累积分布函数${\displaystyle F_n(x)=\mathbb{P}(X_n⩽<!--\; ⩽\; -->x)}$。设有实值的随机变量序列 ${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$ 和某个随机变量${\displaystyle X}$（其累积分布函数为 ${\displaystyle F(x)}$），如果对${\displaystyle F(x)}$的每个连续点${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{F}_n(x)=F(x)}$，那么就说 ${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$依分布收敛到某个随机变量${\displaystyle X}$。记作：

由于依分布收敛只和随机变量的分布相关，所以也可以称一系列随机变量（依分布）收敛于某个分布。设${\displaystyle {\mathcal{L}}_X}$是极限${\displaystyle X}$的分布，那么依分布收敛也可以记作：

例如一个随机变量序列${\displaystyle (X_n;n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$依分布收敛到标准正态分布，就可以记作：

各个收敛的定义有强弱之分。一个收敛性强于另一个是指从前者可以推出后者。例如依概率收敛强于依分布收敛，即是说如果一列随机变量依概率收敛到某个极限，那么必定也依分布收敛到这个极限。具体来说，收敛性的强弱关系可以用下图来表示：