弗勒内-塞雷公式

在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。

单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下：

弗勒内公式如下：

其中/ 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

记r(t) 为欧式空间R中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

记 为 时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 表示为 的函数，因此可将曲线表示为弧长 的函数 r(s) = r(())。 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r()，弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下：

由于 ${\displaystyle |\mathbf{T}|=1,\frac{d(\mathbf{T}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{T})}{ds}=2\mathbf{T}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{N}=0,}$，并且可以写做矩阵的形式：

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。