弗勒内-塞雷公式

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:46:38 #微分几何,多变量微积分,曲线,曲率,数学公式

在向量微积分中,弗勒内-塞雷公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说,弗勒内公式描述了曲线的切向,法向,副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内(于1847年的博士论文中)和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷(于1851年)分别提出。

单位切向量 T,单位法向量 N,单位副法向量 B,被称作 弗勒内标架,他们的具体定义如下:

弗勒内公式如下:

其中/ 是对弧长的微分, κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

记r(t) 为欧式空间R中的曲线,表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

记 为 时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长:

由于假设r′ ≠ 0,因此可以将 表示为 的函数,因此可将曲线表示为弧长 的函数 r(s) = r(())。 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(),弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下:

由于 | T | = 1 , d ( T T ) d s = 2 T N = 0 , {\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,} ,并且可以写做矩阵的形式:

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导,可以看成是对切方向的协变导数。

相关

  • 黄帝外经《黄帝外经》首见于《汉书》卷三十,艺文志第五,方技类之医经中,惟不见录经文。相关之书目为:《黄帝外经》三十九卷或三十七卷。另有《扁鹊外经》十二卷。又有《白氏外经》三十六
  • 棕榈油棕榈油又名棕油,是一种对棕榈科油棕属植物油泛称,来自油棕(Elaeis guineensis)的果实。5000年前人类就已经开始使用这种油了。现在马来西亚和印尼是世界上最主要的棕榈油生产国
  • 小鸟号小鸟号航天飞机(俄语:Птичка,意为“小鸟”),是前苏联暴风雪太空航天飞机计划中的第2架航天飞机,于1988年开始建造,1993年完工。暴风雪太空航天飞机计划停止后,航天飞机现由哈
  • span class=chemf style=white-space:nowrap;Csub26/sub二十六烷(英语:hexacosane)是含有26个碳原子的直链烷烃,化学式为C26H54或CH3(CH2)24CH3,外观为无色蜡状固体,又称蜡烷。二十六烷存在于成熟的烟草中,将烟草焚烧后可析出低浓度的二
  • 艾尔弗雷德·克努森艾尔弗雷德·乔治·克努森(英语:Alfred George Knudson,1922年8月9日-2016年7月10日),美国遗传学家,专门从事癌症遗传学研究。他在该领域的贡献包括1971年提出的克努森假说,解释了致
  • 南开大学医院南开大学医院,又称南开大学校医院,为服务南开大学师生及家属的社区医院,院长为南开大学商学院教授齐善鸿。
  • 女子铆钉工铆钉女工(Rosie the Riveter)是二次大战的文化符号之一,其形象是战时六百万进入制造业工厂工作的女性的代表(这些工作传统上是由男性作的),后来更成为女性主义以及女性经济力量的
  • 泰国王室国王陛下 王后陛下​王太后陛下现存泰国王室(泰语:ราชวงศ์จักรี)为拉玛一世于1782年建立并延续至今的扎克里王朝,两个多世纪以来,王位已经传承十世。王室继位顺序和
  • 刘彭祖刘彭祖(前2世纪?-前92年),西汉景帝第八子,贾夫人所生。孝景前二年(前155年),立刘彭祖为广川王。第二年(前154年),赵王刘遂谋反后,刘彭祖改封赵王(前154年—前92年在位)。刘彭祖为人巧佞,持诡
  • 理查德·绍尔理查德·莱因哈德·埃米尔·绍尔(德语:Richard Reinhard Emil Schorr;1867年8月20日-1951年9月21日),是一位天文学家。月球上的斯科尔环形山和小行星1235 斯科尔就是以他的名字命