电荷密度

在电磁学里，电荷密度是一种度量，用以描述空间中连续电荷的分布状况。依据讨论电磁模型的维度而定，电荷密度可以是线电荷密度、面电荷密度或体电荷密度。假设电荷分布于一条曲线或一根直棒子，则其线电荷密度是每单位长度的电荷密度，单位为库仑／米 (coulomb/meter) 。假设电荷分布于一个平面或一个物体的表面，则其面电荷密度是每单位面积的电荷密度，单位为库仑／米2。假设电荷分布于一个三维空间的某区域或物体内部，则其体电荷密度是每单位体积的电荷密度，单位为库仑／米3。由于在大自然里，有两种电荷，正电荷和负电荷，所以，电荷密度可能会是负值。电荷密度也可能会跟位置有关。特别注意，不要将电荷密度与电荷载子密度 (charge carrier density) 搞混了。电荷密度与电荷载子的体积有关。例如，由于锂阳离子的半径比较小，它的体电荷密度大于钠阳离子的体电荷密度。假设，一个体积为 V {displaystyle V} 的载电体，其电荷密度 ρ 0 {displaystyle rho _{0}} 是均匀的，跟位置无关，那么，总电荷量 Q {displaystyle Q} 为假设，在某一区域内有 N {displaystyle N} 个离散的点电荷，像电子。那么，电荷密度可以用狄拉克δ函数来表达为其中， r {displaystyle mathbf {r} } 是检验位置， q i {displaystyle q_{i}} 是位置为 r i {displaystyle mathbf {r} _{i}} 的第 i {displaystyle i} 个点电荷的电量。在量子力学里，类氢原子的中心有一个正电性的原子核，环绕着原子核四周的一个电子的轨域，其电荷密度可以用波函数 ψ ( r ) {displaystyle psi (mathbf {r} )} 表达为其中， q {displaystyle q} 是电子的电荷量。注意到 | ψ ( r ) | 2 {displaystyle |psi (mathbf {r} )|^{2}} 是找到电子的概率。经过归一化，在全部空间找到电子的概率是例如，氢原子的波函数 ψ n l m ( r ) {displaystyle psi _{nlm}(mathbf {r} )} 是其中， R n l {displaystyle R_{nl}} 是径向函数， Y l m ( θ , ϕ ) {displaystyle Y_{l}^{m}(theta ,,phi )} 是球谐函数， n {displaystyle n} 是主量子数， l {displaystyle l} 是角量子数， m {displaystyle m} 是磁量子数。从相对论的角度来论述，导线的长度与观察者的移动速度有关，所以电荷密度是一种相对论性观念。安东尼·法兰碁（Anthony French）在他的著作中表明，移动中的电荷密度会产生磁场力，会吸引或排斥其它载流导线。。使用闵可夫斯基图，法兰碁阐明，一条中性的载流导线，对于处于移动参考系的观察者而言，为什么会貌似载有净电荷密度。通过时空坐标，研究电磁现象的领域称为相对论性电磁学（relativistic electromagnetism）。电荷密度与电流密度之间的关系式为：其中， r {displaystyle mathbf {r} } 是位置， t {displaystyle t} 是时间， J {displaystyle mathbf {J} } 是电流密度。在电磁理论里，从麦克斯韦方程组，可以推导出电荷守恒的连续方程。根据加入位移电流项目后的安培定律，其中， B {displaystyle mathbf {B} } 是磁场， E {displaystyle mathbf {E} } 是电场， μ 0 {displaystyle mu _{0}} 是磁常数， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 是电常数。取散度于方程的两边：由于旋度的散度等于零，再根据高斯定律，可以得到想要的关系式换另外一种比较直觉的推导方法。流入某体积 V {displaystyle mathbb {V} } 的净电流为其中， I {displaystyle I} 是电流， S {displaystyle mathbb {S} } 是包围体积 V {displaystyle mathbb {V} } 的闭曲面， d r 2 {displaystyle mathrm {d} mathbf {r} ^{2}} 是微小面矢量元素，垂直于 S {displaystyle mathbb {S} } 从体积内朝外指出。应用散度定理，将这方程写为总电荷量 Q {displaystyle Q} 与体积 V {displaystyle mathbb {V} } 内的电荷密度 ρ {displaystyle rho } 的关系为电荷守恒要求，流入体积 V {displaystyle mathbb {V} } 的净电流，等于体积 V {displaystyle mathbb {V} } 内总电荷量 Q {displaystyle Q} 的变率：所以，对于任意体积 V {displaystyle mathbb {V} } ，上述方程都成立。所以，可以将被积式提取出来：在一个体积区域 V ′ {displaystyle mathbb {V} '} 内，源位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 的电荷密度为 ρ ( r ′ ) {displaystyle rho (mathbf {r} ')} 的电荷分布，所产生在场位置 r {displaystyle mathbf {r} !} 的电势为其中， d 3 r ′ {displaystyle mathrm {d} ^{3}{r}'} 是微小体积元素。电场 E {displaystyle mathbf {E} } 是电势的负梯度：应用矢量关系式取散度于电场，可以得到高斯定律的微分形式和泊松方程