四顶点定理

✍ dations ◷ 2025-08-17 11:43:54 #微分几何,曲线,几何定理

四顶点定理是微分几何关于平面曲线的整体性质的定理。这定理指出，一条简单闭曲线的曲率函数，如果不是常值，便有至少四个局部极值。更确切地说，这函数有至少两个局部极大值和两个局部极小值。

1909年斯亚马达斯·穆科帕迪亚亚最先证明这定理对凸曲线（即有严格正曲率）成立。他的证明用到了以下结果：曲线上一点的曲率是极值，当且仅当在该点的密切圆与曲线有4点切触。（密切圆与曲线一般只有3点切触。）1912年阿道夫·克内泽尔证明了定理在一般情况成立。

四顶点定理的逆定理指，在圆上定义任意连续实值函数，使得有两个局部极大值和两个局部极小值，那么这函数是一条简单平面闭曲线的曲率函数。1971年赫尔曼·格卢克证出严格正函数的情形。他证明在n维球面预先定义曲率的更一般定理，以上结果是其特例。比约恩·达尔贝里在他1998年1月去世前不久，证明逆定理的完整版本。他的证法用到卷绕数，类似代数基本定理的拓扑证明。

这定理的一个推论是，任何在平面上滚动受重力作用的均匀板，都有至少四个平衡点。它的三维推广并不容易，实际上，存在少于四个平衡点的三维凸均匀体，见Gömböc。

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