挠率

在初等三维曲线的微分几何中，一条曲线的挠率（torsion，或译挠率）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起，与平面曲线的曲率类似。例如，他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数，由弗勒内-塞雷公式给出。设 C 是一条用弧长参数 s {displaystyle s} 给出的空间曲线，单位切矢量为 t {displaystyle {boldsymbol {t}}} 。如果在某一点 C 的曲率 κ {displaystyle kappa } 不等于 0，那么主法矢量和次法矢量分别是n = t ′ κ , b = t × n . {displaystyle mathbf {n} ={frac {mathbf {t} '}{kappa }},quad mathbf {b} =mathbf {t} times mathbf {n} .}其中撇号代表对参数 s {displaystyle s} 的导数。空间曲线在一点处的切矢量 t {displaystyle {boldsymbol {t}}} 和主法矢量 n {displaystyle {boldsymbol {n}}} 所张成的平面就是密切平面，密切平面的法矢量 b = t × n {displaystyle {boldsymbol {b}}={boldsymbol {t}}times {boldsymbol {n}}} 是曲线的次法矢量。如果曲线本身位于一个平面内，那么这个平面就是曲线的密切平面，相应的次法矢量就是常矢量。如果曲线不是平面曲线，则 b {displaystyle {boldsymbol {b}}} 不是常矢量。因为 b {displaystyle {boldsymbol {b}}} 是单位矢量，所以 b ′ {displaystyle {boldsymbol {b}}'} 垂直于 b {displaystyle {boldsymbol {b}}} 。又因为 b = t × n {displaystyle {boldsymbol {b}}={boldsymbol {t}}times {boldsymbol {n}}} ，所以 b ′ = t ′ × n + t × n ′ = t × n ′ {displaystyle {boldsymbol {b}}'={boldsymbol {t}}'times {boldsymbol {n}}+{boldsymbol {t}}times {boldsymbol {n}}'={boldsymbol {t}}times {boldsymbol {n}}'} ，故 b ′ {displaystyle {boldsymbol {b}}'} 也垂直于 t {displaystyle {boldsymbol {t}}} 。所以 b ′ {displaystyle {boldsymbol {b}}'} 与 n {displaystyle {boldsymbol {n}}} 共线。挠率 τ {displaystyle tau } 度量了次法矢量在那一点旋转的速度。由方程得出注：次法矢量的导数垂直于次法矢量和切矢量，从而和主法矢量成比例。式中的负号仅仅是出于习惯，是这个学科历史发展的副产品。挠率半径，通常记为 σ，定义为：几何解释：挠率 τ ( s ) {displaystyle tau (s)} 度量了次法矢量的方向的改变。挠率越大，次法矢量关于切矢量所在的轴的转动越快。设 r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是，r(t)关于t三次可微，且矢量 r ′ ( t ) , r ″ ( t ) {displaystyle mathbf {r'} (t),mathbf {r''} (t)} 线性无关。那么挠率可以由下面的公式表达出来：这里撇号表示对 t 求导数，× 号为矢量的叉积。对 r = (x, y, z)，上述公式的分量形式为例子：圆螺旋线 r ( t ) = ( a cos ⁡ t , a sin ⁡ t , b t )   ( a > 0 ) {displaystyle {boldsymbol {r}}(t)=(acos {t},asin {t},bt) (a>0)} 的曲率、挠率都是常数，分别为κ = a a 2 + b 2 , τ = b a 2 + b 2 {displaystyle kappa ={frac {a}{a^{2}+b^{2}}},quad tau ={frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag，2001 ISBN 1-85233-152-6