毕奥-萨伐尔定律

在静磁学里，毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）以方程描述，电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似，当电流缓慢地随时间而改变时（例如当载流导线缓慢地移动时），这定律成立，磁场与电流的大小、方向、距离有关。毕奥-萨伐尔定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥与费利克斯·萨伐尔命名。

毕奥-萨伐尔定律表明，假设源位置为${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$的微小线元素${\displaystyle \mathrm{d}{\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\prime }}$有电流${\displaystyle I}$，则${\displaystyle \mathrm{d}{\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\prime }}$作用于场位置${\displaystyle \mathbf{r}}$的磁场为

其中，${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{B}}$是微小磁场（这篇文章简称磁通量密度为磁场），${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}$是磁常数。

已知电流密度${\displaystyle \mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })}$，则有：

其中，${\displaystyle {\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }}$为微小体积元素，${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$是积分的体积。

在流体力学中，以涡度对应电流、速度对应磁场强度，便可应用毕奥-萨伐尔定律以计算涡线 (vortex line)导出的速度。

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制，用方程表示，

其中，${\displaystyle I}$是源电流，${\displaystyle {\mathbb{L}}^{\prime }}$是积分路径，${\displaystyle \mathrm{d}{\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\prime }}$是源电流的微小线元素。

应用这方程，必须先选出磁场的场位置。固定这场位置，积分于源电流的路径，就可以计算出在场位置的磁场。请注意，这定律的应用，隐性地依赖著磁场的叠加原理成立；也就是说，每一个微小线段的电流所产生的磁场，其矢量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场，叠加原理成立，因为它们是一组线性微分方程的解答。更明确地说，它们是麦克斯韦方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线，上述这方程是正确的。但假若导线是宽厚的，则可用包含导线体积${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$的积分方程：

其中，${\displaystyle \mathbf{J}}$是电流密度，${\displaystyle {\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }}$是微小体积元素。

毕奥-萨伐尔定律是静磁学的基本定律，在静磁学的地位，类同于库仑定律之于静电学。毕奥-萨伐尔定律和安培定律的关系，则如库仑定律之于高斯定律。

假若无法采用静磁近似，例如当电流随着时间变化太快，或当导线快速地移动时，就不能使用毕奥-萨伐尔定律，必须改用杰斐缅柯方程。

由于点电荷的运动不能形成电流，所以，必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷${\displaystyle q}$以等速度${\displaystyle \mathbf{v}}$移动，在时间${\displaystyle t}$的位置为${\displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{v}t}$。那么，麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场：

其中，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是${\displaystyle \mathbf{v}}$和${\displaystyle \mathbf{r}-<!--\; -\; -->\mathbf{w}}$之间的夹角。

当${\displaystyle v^2\ll <!--\; \ll \; -->c^2}$时，电场和磁场可以近似为

这方程最先由奥利弗·亥维赛于1888年推导出来，称为毕奥-萨伐尔点电荷定律。

这里，我们要从毕奥-萨伐尔定律推导出安培定律和高斯磁定律 (Gauss's law for magnetism)。若想查阅此证明，请点选“显示”。

应用一个矢量恒等式，

将这恒等式带入毕奥-萨伐尔方程。由于梯度只作用于无单撇号的坐标，可以将梯度移到积分外：

应用一个矢量恒等式，

所以，高斯磁定律成立：

任意两个矢量${\displaystyle {\mathbf{A}}_1}$和${\displaystyle {\mathbf{A}}_2}$的叉积，取其旋度，有以下矢量恒等式，：

取旋度于毕奥-萨伐尔方程的两边，稍加运算，可以得到

应用著名的狄拉克δ函数关系式

可以得到

注意到x-分量，

由于电流是稳定的，${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{{}^{\prime }}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })=0}$，所以，

其中，${\displaystyle \mathrm{d}{\mathbf{a}}^{\prime }}$是一个微小源面积元素，${\displaystyle {\mathbb{S}}^{\prime }}$是体积${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$外表的闭曲面。

这个公式右边第二项目是一个闭曲面积分，只与体积内所包含的被积函数，或体积外表曲面的电流密度有关。而体积可大可小，我们可以增大这体积，一直增大到外表的闭曲面没有任何净电流流出或流入，也就是说，电流密度等于零。这样，就可以得到安培定律。