逆元素

✍ dations ◷ 2025-08-02 00:00:16 #二元运算的性质,代数

数学中，逆元素（英语：Inverse element）推广了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。直观地说，它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。

设为一有二元运算 * 的集合。若为(,*)的单位元且*=，则称为的左逆元素且称为的右逆元素。若一元素同时是的左逆元素和右逆元素时，称为的两面逆元素或简称为逆元素。内的一有两面逆元素的元素被称为在内为可逆的。

正如可以有数个左单位元或右单位元一般，一元素同时有数个左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有数个左逆元素右逆元素。

若其运算 * 具有结合律，则当一元素有一左逆元素和一右逆元素时，这两个会是相同且唯一的。在这一情形之下，可逆元的集合会是个群，称为的可逆元群，且标记为()或 $S^{*}$ 都会有一加法逆元（即加法上的逆元素）-。每一非零实数都会有一倒数（即乘法上的逆元素） ${\frac {1}{x}}$ 内的方阵为可逆的（在所有相同大小方阵的集合内，于矩阵乘法下）当且仅当其行列式不等于零。若的行列式为零，它便不可能会有一单面逆元素，因此一单面逆元素必为两面逆元素。更多详情请参见逆矩阵。

更一般地，一元素在一可交换环内的方阵是可逆的当且仅当其行列式在是可逆的。

一函数是一函数的左（右）逆元素（在复合函数之下），当且仅当当 $g\circ f$ 定义域（陪域）上的恒等函数。在这一例子里，一函数有右逆元素而无左逆元素，或许相反，是很常见的。

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