线性组合

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线性组合（英语：Linear combination）是线性代数中具有如下形式的表达式。其中${\displaystyle v_i}$ 为域 上向量空间 的子集合。

所有 的有限线性组合构成的集合，称为 所生成的空间，记作 span(S)。

任何 所生成的空间必有以下的性质：

1. 是一个 的子空间（所以包含0向量）

2. 几何上是直的，没有弯曲（即，任两个 span(S) 上的点连线延伸，所经过的点必也在 span(S) 上）

对于一个向量集 S =｛₁,...,｝,若向量空间中的单个向量可以写作两个不同的线性组合，

另一种表述方式是，如果将它们相减 (${\displaystyle c_i:=a_i-<!--\; -\; -->b_i}$₁,..., 称为“线性相关”；否则它们为线性无关。

若是线性无关，而S的生成空间等于，那么是的基。

仿射组合（英语：Affine combination），锥组合（英语：Conical combination）和凸组合对线性组合的系数有一定的限制。

因为这些组合的限制更加严格，所以在这些运算之下的闭合子集也更多。因此，仿射子集，凸锥，和凸集都是向量子空间的一般化形式。所有向量子空间都是仿射子空间，凸锥，也是凸集，但凸集不一定是向量子空间，仿射子空间，或凸锥。

这些概念的产生是由于对于一些特定的数学对象，人们可以采用某些线性组合，但并非任何线性组合：例如，概率分布在凸组合下是闭合的，并且它们形成一个凸集；但在锥组合，仿射组合，或线性组合下不是闭合的。正测度在锥组合下是闭合的，但在仿射或线性组合下不是。因此，我们将带正负符号的测度（英语：signed measure）定义为它的线性闭包。

线性和仿射组合可以在任何域或环上定义，但锥组合和凸组合需要“正数”的概念，因此只能在有序域或有序环（英语：ordered ring）上定义，最常见的例子是实数。

如果仅允许乘以标量而不允许相加，则我们得到一个（不一定是凸的）圆锥；通常来说，定义中只允许乘以正标量。

所有这些概念通常都定义为环境向量空间的子集，而不是独立地由公理定义。仿射空间除外，因为仿射空间也可以看作“没有原点的向量空间”。