核主成分分析

✍ dations ◷ 2025-08-16 08:14:00 #多变量统计,信号处理,机器学习算法

核主成分分析(英语:kernel principal component analysis,简称kernel PCA)是多变量统计领域中的一种分析方法,是使用核方法(英语:Kernel method)对主成分分析的非线性扩展,即将原数据通过核映射到再生核希尔伯特空间(英语:Reproducing kernel Hilbert space)后再使用原本线性的主成分分析。

线性PCA对于中心化后的数据进行分析,即

其中 x i {\displaystyle \mathbf {x} _{i}} 个数据点在 d < N {\displaystyle d<N} 个数据点 x i {\displaystyle \mathbf {x} _{i}} 维空间

中,就能很容易地构建一个超平面将数据点作任意聚类。不过由于经 Φ {\displaystyle \Phi } 中每一列的个元素代表了转换后的一个数据点与所有个数据点的点积。

由于我们并不在特征空间中进行计算,核PCA方法不直接计算主成分,而是计算数据点在这些主成分上的投影。特征空间中的一点在第k个主成分 V k {\displaystyle V^{k}} 为数据点的数量, λ {\displaystyle \lambda } a {\displaystyle \mathbf {a} } 则分别为 K {\displaystyle K} 的特征值与特征向量。为了归一化 a k {\displaystyle \mathbf {a} ^{k}} ,我们要求

值得注意的是,无论是否在原空间中对 x {\displaystyle x} 中心化,我们无法保证数据在特征空间中是中心化的。由于PCA要求对数据中心化,我们可以对K“中心化”:

其中 1 N {\displaystyle \mathbf {1_{N}} } 代表一个每个元素值皆为 1 / N {\displaystyle 1/N} N × N {\displaystyle N\times N} 矩阵。于是我们可以使用 K {\displaystyle K'} 进行前述的核PCA计算。

在使用核PCA时,还有一点值得注意。在线性PCA中,我们可以通过特征值的大小对特征向量进行排序,以度量每个主成分所能够解释的数据方差。这对于数据降维十分有用,而这一技巧也可以用在核PCA中。不过,在实践中有时会发现得到所有方差皆相同,这通常是源于错误选择了核的尺度。

在实践中,大数据集会使K变得很大,从而导致存储问题。一种解决方式是先对数据集聚类,然后再对每一类的均值进行核PCA计算。有时即便使用此种方法仍会导致相对很大的K,此时我们可以只计算K中最大的P个特征值及相对应的特征向量。

考虑图中所示的三组同心点云,我们试图使用核PCA识别这三组。图中各点的颜色并不是算法的一部分,仅用于展示各组数据点在变换前后的位置。

首先,我们使用核

进行核PCA处理,得到的结果如第二张图所示。

其次,我们再使用高斯核

该核是数据接近程度的一种度量,当数据点重合时为1,而当数据点相距无限远时则为0。结果为第三张图所示。

此时我们注意到,仅通过第一主成分就可以区别这三组数据点。而这对于线性PCA而言是不可实现的,因而线性PCA只能在给定维(此处为二维)空间中操作,而此时同心点云是线性不可分的。

核PCA方法还可用于新奇检测(novelty detection)与数据降噪等。

相关

  • 安瓿安瓿(ampoule/ampule)是用于盛装药液小型玻璃容器。容量一般为1~25ml。近似保龄球瓶的玻璃瓶。一般这种瓶子较薄,容量小但密封性较好。顶部用高温处理使玻璃熔融密封。在其瓶颈
  • 卡普雷塞米开朗基罗卡普雷塞米开朗基罗,(意大利语:Caprese Michelangelo),旧称卡普雷塞(意大利语:Caprese),是意大利托斯卡纳大区阿雷佐省的一个市镇。卡普雷塞米开朗基罗在佛罗伦萨西约100公里处。这里
  • 清代机器局遗构清代机器局遗构,位在台北市塔城街两侧,为1885年建立的机器局遗迹,在2006年因台北捷运松山线施工整地时被发现,包含石砌墙、清代石板路和漆器局四进衙门的遗构,于2009年登录为台北
  • 2007年澳门摩托车慢驶抗议道路交通法游行2007年澳门摩托车慢驶抗议道路交通法游行一共进行了三次,您找的可能是:
  • 勒基托阿萨乡坐标:46°26′N 27°22′E / 46.433°N 27.367°E / 46.433; 27.367勒基托阿萨乡(罗马尼亚语:Comuna Răchitoasa, Bacău),是罗马尼亚的乡份,位于该国东北部,由巴克乌县负责管辖,面
  • 夏琨塔拉·戴维夏琨塔拉·戴维(卡纳达语:ಶಕುಂತಲಾ ದೇವಿ,拉丁转写:Shakuntala Devi,又译为萨昆塔拉·德维,1929年11月4日-2013年4月21日),女性,生于印度班加罗尔,是神童和著名心算家(英语:Ment
  • 乙烯菌核利乙烯菌核利(英文通用名vinclozolin)是一种二甲酰亚胺类杀菌剂,平常用于葡萄园等场所。它是一种内分泌干扰素.最近的科学发现表明,暴露在乙烯菌核利下的大鼠的脱氧核糖核酸发生
  • 九九神功九九神功, 又称吊阴功、帝王神功九九神功是一种阴吊术,用棉绳将整个男性生殖器(包含阴囊、输精管)套住,下面吊着重达数十斤的重物,而后渐次加重,乃至百斤。至于女性则可以利用阴蒂,
  • A29公路A29公路、A29高速公路可以指:
  • 殺與捕《殺與捕》(英语:The Edge)是一部在1997年上映的美国冒险片,由安东尼·霍普金斯和亚历克·鲍德温主演,导演为执导过《全面追缉令》、《谁与争锋》等片的李·塔玛何瑞。美国著名受