对数平均

对数平均是一个二个非负数字的数学函数，等于两者的差除以其对数的差。其符号为：

其中${\displaystyle x,y}$都是正整数。

对数平均的计算适用在有关热传及质传的工程问题上。

二个数字的对数平均小于其算术平均，大于几何平均，若二个数字相等，对数平均会等于算数平均及几何平均。

根据均值定理

若将${\displaystyle f}$改为${\displaystyle \ln }$，对数平均可以由 ${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$来求得

求解${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$。

对数平均也可以表示为指数函数以下的面积。

面积的表示法可以推导一个有关对数平均的基本性质。因为指数函数为单调函数，长度为1区间的的积分会在${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$之间。积分算子的齐次性转移到平均算子，因此${\displaystyle L(c\cdot <!--\; \cdot \; -->x,c\cdot <!--\; \cdot \; -->y)=c\cdot <!--\; \cdot \; -->L(x,y)}$.

对数平均可推广到${\displaystyle n+1}$变数，考虑对数n阶导数的均差中值定理（英语：mean value theorem (divided differences)）。可以得到:${\displaystyle L_{\mathrm{M}\mathrm{V}}(x_0,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\sqrt[-<!--\; -\; -->n]{(-<!--\; -\; -->1{)}^{(n+1)}\cdot <!--\; \cdot \; -->n\cdot <!--\; \cdot \; -->\ln <!--\; \; -->}}$其中${\displaystyle \ln <!--\; \; -->}$为对数的均差。

若${\displaystyle n=2}$，会变成

积分的表示法也可以推广到多变数，但结果不同。假设单纯形 ${\displaystyle S}$其中${\displaystyle S=\{({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n):{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n=1\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0\ge <!--\; \ge \; -->0\wedge <!--\; \wedge \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n\ge <!--\; \ge \; -->0\}}$及适当的量度${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$可以使单纯形得到1的体积，可得

利用指数函数的均差可以简化如下

例如${\displaystyle n=2}$