Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系统分析（英语：system analysis）及控制理论的结果，其中提到：给定一数${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}>0}$，二个n维向量B, C，及n x n的赫维兹稳定矩阵 A（所有特征值的实部都为负值），若${\displaystyle (A,B)}$具有完全可控制性，则满足下式的对称矩阵P和向量Q

存在的充份必要条件是

而且，集合${\displaystyle \{x:x^{T}Px=0\}}$是${\displaystyle (C,A)}$的不可观测子空间。

此引理可以视为是稳定性理论李亚普诺夫方程的推广。建构了由状态空间A, B, C建构的线性矩阵不等式以及其频域条件的关系。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich（英语：Vladimir Andreevich Yakubovich）写出且证明，当时列的是严格的频率不等式。允许等于的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出。在该文中也建立了Lur'e方程可解性的关系。两篇都是针对标量输入系统。其控制维度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放宽的，而Vasile M. Popov（英语：Vasile Mihai Popov）也独立得到相同结论。在中有针对此一主题的广泛探讨。

给定${\displaystyle A\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{n\times <!--\; \times \; -->n},B\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{n\times <!--\; \times \; -->m},M=M^T\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{(n+m)\times <!--\; \times \; -->(n+m)}}$，其中 ${\displaystyle det(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}I-<!--\; -\; -->A)\ne <!--\; \ne \; -->0}$针对所有${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$，且${\displaystyle (A,B)}$有可控制性，则以下的叙述是等价的：

即使${\displaystyle (A,B)}$不具有可控制性，对应上式的严格不等式仍成立。