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超越三角函数

✍ dations ◷ 2025-08-16 19:04:39 #超越三角函数

超越三角函数是自然对数的一种延伸，也是欧拉公式的扩充，其中每个超越三角函数都违反原来对三角函数的定义。

由李昂哈德·欧拉对复数的定义得知：

当 ${displaystyle x=ln(i),}$ ${displaystyle x=ln(i),}$ 时，得知：

再因为

所以得出下列结论：

解联立方程解得

发现 ${displaystyle cosln(i)}$ ${displaystyle cosln(i)}$ 明显超越了1，这代表了斜边比邻边还短，违反了当初对实数系的三角函数的定义域，所以这称为对虚数系的三角函数

延伸后可得：

将超越三角函数以三度空间方式作图，X轴为自变数，Y轴为变数之实部，Z轴为变数之虚部，可以发现超越三角函数都是以4为一周期的函数图形，但是最后会发现一件怪异之处

这对一般数学是不成立的，但是为何有合理的解释？如果说一般数的单位是│µ│（单位向量），欧拉对虚数的幂可见

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