自然对数

自然对数（英语：Natural logarithm）为以数学常数e为底数的对数函数，标记作 ln ⁡ x {displaystyle ln x} 或 log e ⁡ x {displaystyle log _{e}x} ，其反函数为指数函数 e x {displaystyle e^{x}} 。根据微积分学，某函数之定义域为其反函数之值域，反之其值域为其反函数之定义域。因 e x {displaystyle e^{x}} 的值域为 ( 0 , ∞ ) {displaystyle (0,infty )} ，且其为 ln ⁡ x {displaystyle ln x} 之反函数，故可知 ln ⁡ x {displaystyle ln x} 之定义域为 ( 0 , ∞ ) {displaystyle (0,infty )} ，即 ln ⁡ x {displaystyle ln x} 在非正实数系无法定义。自然对数定义为：对任何正实数 x {displaystyle x} ，由 1 {displaystyle 1} 到 x {displaystyle x} 所围成， x y = 1 {displaystyle xy=1} 曲线下的面积 。如果 x {displaystyle x} 小于1，则计算面积为负数。e {displaystyle e} 则定义为唯一的实数 x {displaystyle x} 使得 ln ⁡ x = 1 {displaystyle ln x=1} 。自然对数的一般表示方法为 ln ⁡ x {displaystyle ln x!} ，数学中亦有以 log ⁡ x {displaystyle log x!} 表示自然对数。 若要避免与底为10的常用对数 log ⁡ x {displaystyle log x!} 混淆，可用“全写” l o g e x {displaystyle log_{boldsymbol {e}}x} 。约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。按后世的观点，约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数 e {displaystyle e} ，而约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近 1 e {displaystyle {frac {1}{e}}} 。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。形如 f ( x ) = x p {displaystyle f(x)=x^{p}} 的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况 p = − 1 {displaystyle p=-1} 对应于双曲线的弓形面积（英语：Quadrature (mathematics)），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积（英语：The Quadrature of the Parabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）将对数联系于双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 的弓形面积，他发现x轴上 [ a , b ] {displaystyle } 两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同 [ c , d ] {displaystyle } 对应的扇形，在 a b = c d {displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} 时面积相同，这指出了双曲线从 x = 1 {displaystyle x=1} 到 x = t {displaystyle x=t} 的积分 f ( t ) {displaystyle f(t)} 满足：1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将 1 1 + x {displaystyle {frac {1}{1+x}}} 展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为：1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念。欧拉定义自然对数为序列的极限：ln ⁡ ( a ) {displaystyle ln(a)} 正式定义为积分，这个函数为对数是因满足对数的基本性质:这可以通过将定义了 ln ⁡ ( a b ) {displaystyle ln(ab)} 的积分拆分为两部分，并在第二部分中进行换元 x = t a {displaystyle x=ta} 来证实:幂公式 ln ⁡ ( t ′ ) = r ln ⁡ ( t ) {displaystyle ln(t')=rln(t)} 可如下推出:第二个等式使用了换元 u = x 1 r {displaystyle u=x^{frac {1}{r}}} 。自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：lim h → 0 ln ⁡ ( 1 + h ) h = lim h → 0 ln ⁡ ( 1 + h ) − ln ⁡ 1 h = d d x ln ⁡ x | x = 1 = 1 {displaystyle lim _{hto 0}{frac {ln(1+h)}{h}}=lim _{hto 0}{frac {ln(1+h)-ln 1}{h}}={frac {d}{dx}}ln x{Bigg |}_{x=1}=1}自然对数的导数为证明一 （微积分第一基本定理）: d d x ln ⁡ ( x ) = d d x ∫ 1 x 1 t d t = 1 x {displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)={frac {d}{dx}}int _{1}^{x}{frac {1}{t}},dt={frac {1}{x}}}证明二: 按此影片设 u = h x ⇒ u x = h {displaystyle u={frac {h}{x}}Rightarrow ux=h}设 n = 1 u ⇒ u = 1 n {displaystyle n={frac {1}{u}}Rightarrow u={frac {1}{n}}}用自然对数定义的更一般的对数函数， log b ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( b ) {displaystyle log _{b}(x)={frac {ln(x)}{ln(b)}}} ，根据其逆函数即一般指数函数的性质，它的导数为：根据链式法则，以 f ( x ) {displaystyle f(x)} 为参数的自然对数的导数为右手端的商叫做 f {displaystyle f} 的对数导数（英语：logarithmic derivative），通过 ln ⁡ ( f ( x ) ) {displaystyle ln(f(x))} 的导数的方法计算 f ′ ( x ) {displaystyle f'(x)} 叫做对数微分。自然对数的导数性质导致了 ln ⁡ ( 1 + x ) {displaystyle ln(1+x)} 在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：把 x − 1 {displaystyle x-1} 代入 x {displaystyle x} 中，可得到 ln ⁡ ( x ) {displaystyle ln(x)} 自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换，可以得到对绝对值大于1的任何 x {displaystyle x} 有效的如下级数:这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。还要注意到 x x − 1 {displaystyle x over {x-1}} 是自身的逆函数，所以要生成特定数 y {displaystyle y} 的自然对数，简单把 x x − 1 {displaystyle x over {x-1}} 代入 x {displaystyle x} 中。自然数的倒数的总和叫做调和级数。它与自然对数有密切联系：当 n {displaystyle n} 趋于无穷的时候，差收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。自然对数通过分部积分法积分:假设:所以:自然对数可以简化形如 g ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) {displaystyle g(x)={frac {f'(x)}{f(x)}}} 的函数的积分： g ( x ) {displaystyle g(x)} 的一个原函数给出为 ln ⁡ ( | f ( x ) | ) {displaystyle ln(leftvert f(x)rightvert )} 。这是基于链式法则和如下事实:换句话说，且下面是 g ( x ) = tan ⁡ x {displaystyle g(x)=tan x} 的例子：设 f ( x ) = cos ⁡ x {displaystyle f(x)=cos x} 且 f ′ ( x ) = − sin ⁡ x {displaystyle f'(x)=-sin x} ：在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数，并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线 y = x {displaystyle y=x} 上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角 u {displaystyle u} ，在渐近线即x或y轴上需要有的 x {displaystyle x} 或 y {displaystyle y} 的值。显见这里的底边是 ( e u + e − u ) 2 2 {displaystyle left(e^{u}+e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}} ，垂线是 ( e u − e − u ) 2 2 {displaystyle left(e^{u}-e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}} 。通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 下双曲角的 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} 。尽管自然对数没有简单的连分数，但有一些广义连分数如:这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。例如，因为 2 = 1.25 3 × 1.024 {displaystyle 2=1.25^{3}times 1.024} ，2的自然对数可以计算为:进而，因为 10 = 1.25 10 × 1.024 3 {displaystyle 10=1.25^{10}times 1.024^{3}} ，10的自然对数可以计算为:指数函数可以扩展为对任何复数 x {displaystyle x} 得出复数值为 e x {displaystyle e^{x}} 的函数，只需要简单使用 x {displaystyle x} 为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难: 不存在 x {displaystyle x} 使得 e x = 0 {displaystyle e^{x}=0} ；并且有着 e 2 π i = 1 = e 0 {displaystyle e^{2pi i}=1=e^{0}} 。因为乘法性质仍适用于复数指数函数， e z = e z + 2 n π i {displaystyle e^{z}=e^{z+2npi i}} ，对于所有复数 z {displaystyle z} 和整数 n {displaystyle n} 。所以对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数，就是说任何复数对数都可以增加 2 π i {displaystyle 2pi i} 的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如， ln ⁡ i = 1 2 π i {displaystyle ln i={frac {1}{2}}pi i} 或 5 2 π i {displaystyle {frac {5}{2}}pi i} 或 − 3 2 π i {displaystyle -{frac {3}{2}}pi i} 等等；尽管 i 4 = 1 {displaystyle i^{4}=1} ， 4 log = i {displaystyle 4log =i} 不能定义为 2 π i {displaystyle 2pi i} 或 10 π i {displaystyle 10pi i} 或 − 6 π i {displaystyle -6pi i} ，以此类推。z = Re(ln(x+iy))前三图的叠加对于每个非0复数 z = x + y i {displaystyle z=x+yi} ，主值 log ⁡ z {displaystyle log z} 是虚部位于区间 ( − π , π ] {displaystyle (-pi ,pi ]} 内的对数。表达式 log ⁡ 0 {displaystyle log 0} 不做定义，因为没有复数 w {displaystyle w} 满足 e w = 0 {displaystyle e^{w}=0} 。要对 log ⁡ z {displaystyle log z} 给出一个公式，可以先将 z {displaystyle z} 表达为极坐标形式， z = r e i θ {displaystyle z=re^{itheta }} 。给定 z {displaystyle z} ，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向 θ {displaystyle theta } 增加 2 π {displaystyle 2pi } 的整数倍，所以为了保证唯一性而要求 θ {displaystyle theta } 位于区间 ( − π , π ] {displaystyle (-pi ,pi ]} 内；这个 θ {displaystyle theta } 叫做幅角的主值，有时写为 arg ⁡ z {displaystyle operatorname {arg} z} 或 atan ⁡ 2 ( y , x ) {displaystyle operatorname {atan} 2(y,x)} 。则对数的主值可以定义为 ：例如， log ⁡ ( − 3 i ) = ln ⁡ 3 − π i 2 {displaystyle log(-3i)=ln 3-{frac {pi i}{2}}} 。自然指数有应用于表达放射衰变（放射性）之类关于衰减的过程，如放射性原子数目 N {displaystyle N} 随时间变化率 d N d t = − p N {displaystyle {frac {dN}{dt}}=-pN} ，常数 p {displaystyle p} 为原子衰变概率，积分得 N ( t ) = N ( 0 ) exp ⁡ ( − p t ) {displaystyle N(t)=N(0)exp(-pt)} 。