极限点

在数学中，非正式的说在拓扑空间 中的一个集合 的极限点 x（limit point），就是可以被 中的点（不包含 本身）随意“逼近”的点。这个概念有益的推广了极限的概念，并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。

一个有关的概念是序列的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。

设为拓扑空间${\displaystyle X}$（注意不一定属于）的开集也包含至少一个内的非的点，即称为的极限点。由内所有极限点所组成的集合称为的导集，标记为${\displaystyle S^{\prime }}$的每个邻域皆包含无限多个的点是等价的。（在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，这样通常会比较轻松。）

另外，若为序列空间，则可称 ∈ 为的极限点，当且仅当存在一个由 \ {}的点组成的ω序列，其极限为；这也是“极限点”此一名称的由来。

如果包含的所有开集都包含无限多个的点，则是特殊类型极限点，称为的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。

如果包含${\displaystyle x}$ 的度量空间  中，称  中点  是序列  的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point），是指对于所有 > 0，有无限多的值使得 (, ) < 。等价的说，所有  的开邻域包含对无限多  的 。

序列中的点的集合的极限点是这个序列的聚集点。但是，如果对于无限多的， 的值是相等的，这个点是这个序列的聚集点但不必然是在这个序列中的点的集合的极限点。

序列的聚集点是子序列极限：即某个子序列的极限。

网的概念推广了序列的想法。在网中的聚集点包括了缩合点和ω-会聚点二者的想法。

如果φ是在上的基于有向集合的网，而是的子集，则φ经常在中，如果对于所有中的α存在某个β ≥ α有β在中，所以φ(β)在中。在中的点被称为是网的会聚点或聚集点，当且仅当对于的邻域，这个网经常在中。

聚集和极限点也定义于滤子的相关主题中。

序列的所有聚集点的集合有时叫做极限集合。

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