复数 (数学)

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:31:41 #复数,复分析

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots } 提出此一观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的上,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。他又考虑球体,得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年,Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点,即以 ± 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}} 是虚数单位,它有着性质 i 2 = 1 {\displaystyle {{i}^{2}}=-1} 等价于复数 a + 0 i {\displaystyle a+0i} )被指示为 Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} )被指示为 Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} 是电流的符号)中,虚部 i {\displaystyle i} 可以用笛卡尔(直角)坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部 x = z {\displaystyle x=\Re z} 和的和是点 = + 使得顶点0, , 的三角形和顶点, , 的三角形是全等的。

两个点和的积是点 = 使得顶点0, 1, 的三角形和顶点, , 的三角形是相似的。

点的共轭复数是点 = *使得顶点0, 1, 的三角形和顶点0, 1, 的三角形相互是镜像。

作为替代,复数 z {\displaystyle z} 的辐角的 φ = arg z {\displaystyle \varphi =\arg z} sinφ。使用欧拉公式还可以写为

这叫做“指数形式”。

在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。

使用三角恒等式得到

依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算,

任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。

两个复数的加法只是两个向量的向量加法,乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。

乘以 i {\displaystyle i} 是多项式 p {\displaystyle p} 个复数根( k {\displaystyle k} 个计算)。这定理等价于复数域是代数闭域。

事实上,复数域是实数域的代数闭包。它是多项式环 R {\displaystyle \mathbb {R} } 混淆。)

在应用层面,复分析常用以计算某些实值的反常积分,借由复值函数得出。方法有多种,见围道积分方法(英语:Methods of contour integration)。

量子力学中复数是十分重要的,因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

如将时间变量视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric)方程。

实际应用中,求解给定差分方程模型的系统,通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根,再将系统以形为()= 的基函数的线性组合表示。

复函数于流体力学中可描述二维势流。

一些分形如曼德博集合和茹利亚集(Julia set)是建基于复平面上的点的。

复数的平方根是可以计算的。其公式为 x + i y = | x + i y | + x 2 ± i | x + i y | x 2 {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}}

相关

  • 澳门卫生局卫生局 (葡萄牙语:Serviços de Saúde, SS;澳门回归前称为卫生司、葡萄牙语:Serviços de Saúde de Macau, SSM)是专责澳门的医疗及食物安全以及执行政府的医疗卫生政策的政府
  • 乙醛乙醛,又称醋醛,属醛类,是一种具有分子式CH3CHO或MeCHO的有机化合物。由于在大自然当中存在广泛以及工业上的大规模生产,乙醛认为是醛类当中最重要的化合物之一。乙醛可存在于咖
  • 高血压肾病高血压性肾病(Hypertensive nephropathy、"高血压性肾硬化"(hypertensive nephrosclerosis)、"高血压肾病"(Hypertensive renal disease))是一种医学病症、指的是由慢性高血
  • 苯乙醚苯乙醚,又称为乙氧基苯,是一种醚类有机化合物,具有醚类的化学性质(如易挥发、易爆、可以形成过氧化物);它同时也是一种苯的衍生物。用于有机合成中。无色油状有芳香气味的液体。难
  • 透明在光学中,透明是允许光穿透的属性。透明材料可以被透视;即它们允许明晰的图像穿过。相反的属性被称为不透明性。半透明材料只允许光散射穿透,即材料会扭曲图像。在矿物学中常用
  • 双链RNA核糖核酸(英语:Ribonucleic acid),简称RNA,是一类由核糖核苷酸通过3',5'-磷酸二酯键聚合而成的线性大分子。自然界中的RNA通常是单链的,且RNA中最基本的四种碱基为A(腺嘌呤)、U(尿嘧
  • 戒断反应药物戒断(英语:drug withdrawal),一种因为停止药物治疗,或停止娱乐性药物、烟草、酒精的服用,而产生的综合症(symptoms)。在产生物质依赖的现象后,突然停止服用药物,在12至48小时内就
  • 类似色色环(Color Wheel),又称色轮、色圈,是将可见光区域的颜色以圆环来表示,为色彩学的一个工具,一个基本色环通常包括12种不同的颜色。基础的十二色环由瑞士设计师约翰·伊登所提出,其
  • 查克托哈奇查克托哈奇国家森林(英语:Choctawhatchee National Forest)是美国的一处国家森林,1908年11月27日由美国总统西奥多·罗斯福建立,位处佛罗里达州,占地面积1,152英亩(4.66平方千米),最
  • 2019冠状病毒病阿尔及利亚疫情阿尔及利亚的2020年冠状病毒疾病大流行从2020年2月25日,一名意大利国民的SARS-CoV-2呈阳性。案例Covid-19然后检测,有9人死亡和90 情况下,在确定阿尔及利亚 3月19日。2月25日