复数 (数学)

${\displaystyle \mathbb{N}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Z}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Q}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}}$进数
数学常数

圆周率 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3.141592653\dots <!--\; \dots \; -->}$提出此一观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的上，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以${\displaystyle \pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->1}}$是虚数单位，它有着性质${\displaystyle i^2=-<!--\; -\; -->1}$等价于复数${\displaystyle a+0i}$）被指示为${\displaystyle \mathrm{Re}<!--\; \; -->(z)}$）被指示为${\displaystyle \mathrm{Im}<!--\; \; -->(z)}$是电流的符号）中，虚部${\displaystyle i}$可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部${\displaystyle x=\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}z}$和的和是点 = + 使得顶点0, , 的三角形和顶点, , 的三角形是全等的。

两个点和的积是点 = 使得顶点0, 1, 的三角形和顶点, , 的三角形是相似的。

点的共轭复数是点 = *使得顶点0, 1, 的三角形和顶点0, 1, 的三角形相互是镜像。

作为替代，复数${\displaystyle z}$的辐角的${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\arg <!--\; \; -->z}$sinφ。使用欧拉公式还可以写为

这叫做“指数形式”。

在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。

使用三角恒等式得到

和

依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算，

任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。

两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。

乘以${\displaystyle i}$是多项式${\displaystyle p}$个复数根（${\displaystyle k}$个计算）。这定理等价于复数域是代数闭域。

事实上，复数域是实数域的代数闭包。它是多项式环${\displaystyle \mathbb{R}}$混淆。）

在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常积分，借由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法（英语：Methods of contour integration）。

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

如将时间变量视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric)方程。

实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根，再将系统以形为()= 的基函数的线性组合表示。

复函数于流体力学中可描述二维势流。

一些分形如曼德博集合和茹利亚集（Julia set）是建基于复平面上的点的。

复数的平方根是可以计算的。其公式为${\displaystyle \sqrt{x+iy}=\sqrt{\frac{\left|x+iy\right|+x}{2}}\pm <!--\; \pm \; -->i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right|-<!--\; -\; -->x}{2}}}$。